2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题七 基本初等函数Ⅱ（三角函数）第28讲 函数y

专题七基本初等函数Ⅱ（三角函数）第28讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈RAT＝2πωf＝1T＝ω2π________答案：ωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ____π2____3π2____y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0答案：0π2π3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤如下答案：|φ|φω1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(1)将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是()A．y＝sin12xB．y＝sin12x－π2C．y＝sin12x－π6D．y＝sin2x－π6(2)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位解析：(1)将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin12x－π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得函数y＝sin12x＋π3－π3，即y＝sin12x－π6.(2)y＝cos2x→y＝cos(2x＋1)＝cos2x＋12.答案：(1)C(2)C剖析：(1)熟悉参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．(2)熟练掌握由y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(x∈R)的图象的方法．2．由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝12sin12x＋1B．f(x)＝sin12x＋12C．f(x)＝12sinπx2＋1D．f(x)＝sinπx2＋12解析：由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象可知，A＝1.5－0.52＝12，b＝1.5＋0.52＝1，又最小正周期T＝4＝2πω，所以ω＝π2.又0×ω＋φ＝0，所以φ＝0.所以f(x)的解析式为f(x)＝12sinπx2＋1.答案：C剖析：(1)掌握“φ”在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中的作用；(2)理解“A”与“ω”的作用，同时综合成y＝Asinωx图象的作法．3．三角函数图象性质的应用设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的图象关于直线x＝2π3对称，它的最小正周期是π，则下列说法正确的是________(填序号)．①f(x)的图象过点0，32；②f(x)在π12，2π3上是减函数；③f(x)的一个对称中心是5π12，0；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sinωx的图象．解析：因为最小正周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)，f2π3＝3sin4π3＋φ，则sin4π3＋φ＝±1.又φ∈－π2，π2，4π3＋φ∈5π6，11π6，所以4π3＋φ＝3π2，即φ＝π6，所以f(x)＝3sin2x＋π6.①：令x＝0，得f(x)＝32，正确．②：令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z.令k＝0，得π6≤x≤2π3，即f(x)在π6，2π3上单调递减，而在π12，π6上单调递增，错误．③：令x＝5π12，得f(x)＝3sinπ＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．答案：①③剖析：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．1．函数y＝cos2x－π3的部分图象可能是()答案：D2．函数y＝2sinπ6－2x(x∈[0，π])为增函数的区间是()A.0，π3B.π12，7π12C.π3，5π6D.5π6，π解析：因为y＝2sinπ6－2x＝－2sin(2x－π6)，所以由2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6(k∈Z)．又x∈[0，π]，所以π3≤x≤5π6.答案：C3．将函数y＝cosx的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)的最小正周期为πB．y＝f(x)是偶函数C．y＝f(x)的图象关于点π2，0对称D．y＝f(x)在区间0，π2上是减函数答案：D4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则()A．ω＝1，φ＝π6B．ω＝1，φ＝－π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6答案：D5．为了得到函数y＝cos13x的图象，只需要把y＝cosx图象上所有的点的()A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的13，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标缩小到原来的13，横坐标不变答案：A6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝______．解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知，T2＝－π3－－2π3＝π3，所以T＝2π3.因为T＝2πω＝2π3，所以ω＝3.答案：37．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_______．解析：设x＝a与f(x)＝sinx的交点为M(a，y1)，x＝a与g(x)＝cosx的交点为N(a，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝|sina－cosa|＝2sina－π4≤2.答案：28．若函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．解析：因为f(x)在－T4，T4上递增，故－2π3，2π3⊆－T4，T4，即T4≥2π3.所以ωmax＝34.答案：349．已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2x·cosφ－12sin(π2＋φ)(0＜φ＜π)，其图象过点π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2x＋12·cosφ－12cosφ＝12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝12cos(2x－φ)．又因为f(x)过点π6，12，所以12＝12cosπ3－φ，cosπ3－φ＝1.由0＜φ＜π，知φ＝π3.(2)由(1)知，f(x)＝12cos2x－π3.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g(x)＝12cos4x－π3.因为0≤x≤π4，所以－π3≤4x－π3≤2π3.当4x－π3＝0，即x＝π12时，g(x)有最大值12；当4x－π3＝2π3，即x＝π4时，g(x)有最小值－14.10．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A＞0，x∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π)在x＝π12时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f23α＋π12＝125，求sinα.解：(1)因为f(x)＝Asin(3x＋φ)，所以T＝2π3.即f(x)的最小正周期为2π3.(2)因为当x＝π12时，f(x)有最大值4，所以A＝4.所以4＝4sin3×π12＋φ，所以sinπ4＋φ＝1.即π4＋φ＝2kπ＋π2，得φ＝2kπ＋π4(k∈Z).因为0＜φ＜π，所以φ＝π4.故f(x)＝4sin3x＋π4.(3)因为f23α＋π12＝4sin[3(23α＋π12)＋π4]＝4sin2α＋π2＝4cos2α.由f23α＋π12＝125，得4cos2α＝125，所以cos2α＝35，所以sin2α＝12(1－cos2α)＝15，得sinα＝±55.