2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第9讲 函数与方

专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么，函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个________也就是方程f(x)＝0的根．答案：(1)f(x)＝0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．答案：f(a)·f(b)0一分为二零点3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系分类Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点________________无交点零点个数________________________答案：(x1，0)，(x2，0)(x1，0)2101．函数零点的确定(1)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)(2)函数f(x)＝x－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．321解析：(1)因为f(1)＝6－log21＝60，f(2)＝3－log22＝20，f(4)＝32－log24＝－120，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．(2)法一：令f(x)＝0，得x12＝12x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x12与y＝12x的图象(图略)，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.法二：因为f(0)＝－1，f(1)＝12，所以f(0)f(1)0，故函数f(x)在(0，1)至少存在一个零点，又f(x)显然为增函数，所以f(x)零点个数为1.答案：(1)C(2)B剖析：(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．2．函数零点的应用(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，x＜2，3x－1，x≥2，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(0，3)C．(0，2)D．(0，1)解析：(1)因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)0，所以(－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0.所以0＜a＜3.(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.答案：(1)C(2)D剖析：对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决；解的个数可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数．3．二次函数的零点问题若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是()A.－12，14B.－14，12C.14，12D.－14，12解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m≠2，f（－1）·f（0）0，f（1）·f（2）0，即m≠2，[m－2－m＋（2m＋1）]（2m＋1）0，[m－2＋m＋（2m＋1）][4（m－2）＋2m＋（2m＋1）]0，解得14m12.答案：C剖析：解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式．(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系．(3)利用二次函数的图象列不等式组．1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋3x－4的零点所在的区间为()A.0，14B.14，12C.12，1D.1，23解析：因为f12＝e12＋32－4＝e12－52，且e254，所以e1252，所以f120，但f(1)＝e＋3－40，所以f(x)的零点在区间12，1.答案：C2．已知函数f(x)＝2x，x≥a，－x，xa，若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(0,3)D．(1，＋∞)解析：指数函数y＝2x0，没有零点，y＝－x有唯一的零点x＝0，所以若函数f(x)存在零点，须f(x)＝－x(xa)有零点，即0∈(－∞，a)，则a0.答案：B3．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2，0C.12D．0解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又x1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.答案：D4．函数f(x)＝3sinπ2x－log12x的零点的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：由f(x)＝0得3sinπ2x＝log12x，在同一坐标系下画出函数y＝3sinπ2x和y＝log12x的图象，如图所示，从图象上看，两个函数有5个交点，所以原函数有5个零点．答案：D5．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0.则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是()A．5B．4C．3D．2答案：B6．若函数f(x)＝ax－x－a(a0，a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：设函数y＝ax(a0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合条件．当a1时，因为函数y＝ax(a0)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)，此点一定在点(0，1)的上方，因为一定有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)0的解集是________．解析：因为f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.所以－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知，－2＋3＝－a，－2×3＝b.所以a＝－1，b＝－6，所以f(x)＝x2－x－6.因为不等式af(－2x)0，即－(4x2＋2x－6)0⇔2x2＋x－30，解集为x－32x1.答案：x－32x18．已知函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析：画出f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，的图象，如图．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0m1，即m∈(0，1)．答案：(0，1)9．若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．解：若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即方程|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)的图象，由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，所以0－a4，即－4a0，故a的取值范围为(－4，0)．10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，(1)若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，因为f(0)＝10，则应有f(2)0，即f(2)＝22＋(m－1)×2＋1＜0，所以m－32.(2)若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解，则：Δ≥0，0－m－122，f（2）≥0，即（m－1）2－4≥0，－3m1，4＋（m－1）×2＋1≥0.解得m≥3或m≤－1，－3m1，m≥－32.所以－32≤m≤－1.由(1)(2)可知，m的取值范围是(－∞，－1]．