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专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数的图象1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换．(2)对称变换．①y＝f(x)――――――→关于x轴对称y＝________；②y＝f(x)――――――→关于y轴对称y＝________；③y＝f(x)――――――→关于原点对称y＝________；④y＝ax(a＞0且a≠1)――――――→关于y＝x轴对称y＝________．⑤y＝f(x)――――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝________．⑥y＝f(x)――――――――――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝________．(3)伸缩变换．②y＝f(x)――――――――――――――――――――→a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变y＝________．答案：(1)f(x＋h)f(x)＋kf(x)－kf(x－h)(2)－f(x)f(－x)－f(－x)logax(a＞0且a≠1)|f(x)|f(|x|)(3)f(ax)af(x)1．作函数的图象作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|·(x＋1)；(2)y＝x＋2x＋3.解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝x－122－94；当x2，即x－20时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.所以y＝x－122－94，x≥2，－x－122＋94，x＜2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)y＝x＋2x＋3＝1－1x＋3，该函数图象可由函数y＝－1x向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如右图所示．剖析：(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋mx(m0)的函数是图象变换的基础．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．2．识图与辨图(1)现有四个函数：①y＝xsinx；②y＝xcosx；③y＝x|cosx|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是()A．④①②③B．①④③②C．③④②①D．①④②③(2)某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离s与时间t的函数关系的图象大致为()解析：(1)由于函数y＝xsinx是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝xcosx是奇函数，且当x＝π时，y＝－π0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cosx|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝x·2x为非奇非偶函数，故函数④与第二个图象对应．综上可知，选D.(2)根据他先前进了akm，得图象是一段上升的直线，由“觉得有点累，就休息了一段时间”，可知图象是一段平行于t轴的直线，由“想想路途遥远，有些泄气就沿原路返回骑了bkm(b＜a)”，得图象是一段下降的直线，由“记起诗句‘不到长城非好汉’，便调转车头继续前进”，得图象是一段上升的直线．综合以上，得图象是C，故选C.答案：(1)D(2)C剖析：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．3．函数图象的应用已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.(2)f(x)＝x|4－x|＝x（x－4）＝（x－2）2－4，x≥4，－x（x－4）＝－（x－2）2＋4，x＜4.f(x)的图象如图所示．(3)f(x)的单调递减区间是[2，4]．(4)由图象可知，f(x)0的解集为{x|0x4或x4}．(5)因为f(5)＝54，所以由图象知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．剖析：(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．1．函数y＝21－x的大致图象为()答案：A2．函数y＝5x与函数y＝－15x的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案：C3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中ab)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga(x－b)的图象大致是()解析：结合二次函数的图象可知，a1，－1b0，所以函数g(x)＝loga(x－b)单调调递，排除C、D，把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位，得到g(x)＝loga(x－b)的图象，排除A，选B.答案：B4．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x0)，g(x)＝－logax的图象可能是()解析：当0a1时，函数f(x)＝xa(x≥0)为增函数，且图象变化越来越平缓，g(x)＝－logax的图象为增函数，当a1时，函数f(x)＝xa(x≥0)为增函数，且图象变化越来越快，g(x)＝－logax的图象为减函数，综上，只有D符合．答案：D5．函数f(x)＝ex＋e－x2sinx，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致为()解析：函数f(x)定义域关于原点对称，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B，当x→0＋时，f(x)→＋∞，排除A，当x→π时，f(x)→＋∞，排除C，故选D.答案：D6．如图，已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A，B)，其中A(－4，0)，B(4，0)，C(0，4)，则不等式f(x)log2(x＋2)的解集是________．解析：在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log2(x＋2)的图象，易知当x＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＝2，所以不等式f(x)log2(x＋2)的解集是(－2，2)．答案：(－2，2)7．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．解析：f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝6.答案：68．已知定义在R上的函数f(x)＝lg|x|，x≠0，1，x＝0，关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．解析：方程f(x)＝c有三个不同的实数根等价于y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，画出函数f(x)的图象(图略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.答案：0