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专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第7讲二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝__________________．②顶点式：f(x)＝__________________．③零点式：f(x)＝__________________．(2)二次函数的图象和性质.解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减在x∈－∞，－b2a上单调递增单调性在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称答案：(1)ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)2.幂函数(1)定义：形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较．(3)幂函数的性质：①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1，1)；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．答案：(1)y＝xα1．求二次函数的解析式(1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．解析：(1)依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0，1)，所以4a－1＝1，所以a＝12.所以f(x)＝12(x－2)2－1.所以f(x)＝12x2－2x＋1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，所以b＝－2，或a＝0(舍去)，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.答案：(1)f(x)＝12x2－2x＋1(2)－2x2＋4剖析：求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解．2．二次函数的图象与性质(1)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，3]，则函数f(x)的最大值为________(2)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．①当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；②求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．(1)解析：f(x)＝(x－1)2－1，因为－2≤x≤3，所以[f(x)]max＝f(－2)＝8.答案：8(2)解：①当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.②函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．剖析：(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键：①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.3．幂函数的图象和性质(1)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________．(2)若(a＋1)12＜(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．解析：(1)因为函数f(x)＝(m2－m－1)·x－5m－3是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．所以m＝－1.(2)易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1＜3－2a，解之得－1≤a＜23.答案：(1)－1(2)－1，23剖析：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．1．已知幂函数f(x)的图象过点2，22，则f(8)的值为()A.24B.28C．22D．82解析：因为幂函数f(x)＝xa的图象过点2，22，所以22＝2a，所以a＝－12，所以f(x)＝x－12，所以f(8)＝8－12＝24.答案：A2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0，11)，则()A．a＝1，b＝－4，c＝－1B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝－11D．a＝3，b＝－12，c＝11解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与y轴的交点坐标为(0，11)，所以c＝11，又因为图象的顶点坐标为(2，－1)，所以－b2a＝2，4ac－b24a＝－1，解得a＝3，b＝－12，c＝11.答案：D3．若(m－1)12(3－2m)12，则实数m的取值范围为()A．m43B．1≤m≤32C．1≤m43D．43m≤32解析：幂函数f(x)＝x12在定义域[0，＋∞)上单调递增，据此可得不等式组：m－1≥0，3－2m≥0，m－13－2m，解得m≥1，m≤32，m43.则实数m的取值范围为1≤m43.答案：C4．函数y＝2x(2－x)(其中0x2)的最大值是()A.14B.12C．1D．2解析：因为0＜x＜2，所以y＝2x(2－x)＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，根据二次函数的性质可知，当x＝1时函数取得最大值2.答案：D5．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图象可能是()解析：当a＜0，函数y＝ax－1a是减函数，且在y轴上的截距－1a＞0，结合图象排除D，幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以B项也不正确．当a＞0时，函数y＝ax－1a是增函数，－1a＜0，y＝xa在(0，＋∞)上是增函数，故A项不正确．答案：C6．已知n∈{－1，0，1，2，3}，若－12n＞－15n，则n＝________．解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．答案：－1或27．当0＜x＜1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)．答案：h(x)＞g(x)＞f(x)8．函数f(x)＝x2－2x－3在[－1，m]内的值域为[－4，0]，则实数m的取值范围是________．解析：由题意，作出函数f(x)＝x2－2x－3的图象，如图所示，当x＝1时，此时f(x)的最小值为－4，当x＝－1时，f(－1)＝0，令x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，要使得函数f(x)＝x2－2x－3在[－1，m]内的值域为[－4，0]，则1≤m≤3，即实数m的取值范围为1≤m≤3.答案：1≤m≤39．已知函数f(x)＝2x－xm，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)因为f(4)＝－72，所以24－4m＝－72.所以m＝1.(2)f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－x1－2x2－x2＝(x2－x1)·(2x1x2＋1)．因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，2x1x2＋1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)，即f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减．10．已知二次函数f(x)的图象过A(－1，0)、B(3，0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0，3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．解：(1)由题意可设，f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，所以a＝2，即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)由(1)知，f(x)＝2(x－1)2－8，当x∈[0，3]时，由二次函数图象知，f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥3}．