2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的单

专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义.项目增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1＜x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________(2)单调区间的定义．如果函数y＝f(x)在区间D上是________或_______，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．答案：(1)f(x1)＜f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的(2)增函数减函数区间D2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________(3)对于任意的x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得________结论M为最大值M为最小值答案：f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1．确定函数的单调性(区间)(1)函数f(x)＝x1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数(2)已知函数f(x)＝log13x，x1－x2－2x＋4，x≤1，则f(x)的单调递减区间是________．解析：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝x1－x＝11－x－1，根据函数y＝－1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．(2)当x≤1时，f(x)＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，对称轴x＝－1，f(x)在[－1，1]上单调递减，当x1时，f(x)递减，所以f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．答案：(1)C(2)[－1，＋∞)剖析：(1)求函数的单调区间要考虑到函数的定义域．(2)单调区间不能并．只能用：和，与，及，逗号联结．2．函数的最值(1)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x＜1，的最大值为________．(2)已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)，若f(x)在12，2上的值域为12，2，则a＝________．解析：(1)当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)在12，2上单调递增，所以f12＝12，f（2）＝2，即1a－2＝12，1a－12＝2，解得a＝25.答案：(1)2(2)25剖析：求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．3．函数单调性的应用(1)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)f(a＋3)，则实数a的取值范围为______．(2)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，1)D．(0，1]解析：(1)由已知可得a2－a0，a＋30，a2－aa＋3，解得－3a－1或a3.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．(2)由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a，＋∞)，所以a≤1.因为y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，所以由g(x)＝ax＋1在[1，2]上是减函数可得a＞0，故0＜a≤1.答案：(1)(－3，－1)∪(3，＋∞)(2)D剖析：函数单调性应用问题的常见类型及解题策略：(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．下列函数中，在(0，＋∞)上为减函数的是()A．y＝3xB．y＝－1xC．y＝xD．y＝log12x解析：对于选项A，函数y＝3x，在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于选项B，函数y＝－1x，在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于选项C，函数y＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于选项D，函数y＝log12x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．答案：D2．已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0，1]B．[1，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)答案：C3．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f（x2）－f（x1）x2－x1＜0，则()A．f(3)＜f(－2)＜f(1)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(－2)解析：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f（x2）－f（x1）x2－x1＜0，实际上等价于函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，故f(3)＜f(2)＜f(1)，由于函数是偶函数，故f(3)＜f(－2)＜f(1)．答案：A4．已知函数f(x)＝－2x2＋mx－1在区间[1，＋∞)上单调递减，则m取值的集合为()A．{4}B．{x|m4}C．{m|m≤4}D．{m|m≥4}解析：函数的对称轴是x＝m4，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是m4，＋∞，若函数在区间[1，＋∞)上单调递减，所以[1，＋∞)⊆m4，＋∞，即m4≤1，解得m≤4.答案：C5．设函数f(x)＝cosx，a＝f(ln2)，b＝f(lnπ)，c＝fln13，则下列关系式正确的是()A．abcB．bcaC．acbD．bac解析：因为c＝fln13＝cosln13＝cos(－ln3)＝cos(ln3)，且0ln2ln3lnππ2，当x∈0，π2，函数f(x)＝cosx单调递减，有cos(ln2)cos(ln3)cos(lnπ)，即acb.答案：C6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0]为增函数，且f(3)＝0，则不等式f(1－2x)0的解为()A．(－1，0)B．(－1，2)C．(0，2)D．(2，＋∞)解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]为增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上为减函数，由f(3)＝0，则不等式f(1－2x)＞0⇒f(1－2x)＞f(3)⇒|1－2x|＜3，解得：－1＜x＜2，即不等式的解集为(－1，2)．答案：B7．已知函数f(x)＝（a－2）x－1，x≤1，logax，x＞1.若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为____．解析：由题意得a－2＞0，a＞1，loga1≥（a－2）·1－1，解得2＜a≤3.答案：(2，3]8．函数f(x)＝2xx＋1，在[1，2]上的最大值和最小值分别为________．解析：因为f(x)＝2xx＋1＝2（x＋1）－2x＋1＝2－2x＋1，由反比例函数可得，在[1，2]单调递增，当x＝1时，函数取最小值1，当x＝2时，函数取最大值43.答案：1，439．已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－1x，设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2－x1＞0.f(x1)－f(x2)＝a－1x1－a－1x2＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2＜0.所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)解：由题意a－1x＜2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋1x，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3，所以a的取值范围为(－∞，3]．10．设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[－2，0]上单调递减，若f(1－m)＜f(1＋m)，求实数m的取值范围．解：因为f(x)是[－2，2]上的偶函数，且在[－2，0]上单调递减，所以f(x)在[0，2]上单调递增，由f(1－m)＜f(1＋m)得－2≤1－m≤2，－2≤1＋m≤2，|1－m|＜|1＋m|，解得0＜m≤1.