2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第2讲 函数及其

专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数及其表示1．函数与映射项目函数映射两集合A、B设A，B是两个非空________设A，B是两个非空________对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称________为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射答案：数集集合任意任意f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域．在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的________；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的________．(2)函数的三要素：_______、_______和_______．(3)函数的表示法．表示函数的常用方法有______、_______和______．答案：(1)定义域值域(2)定义域对应关系值域(3)解析法图象法列表法3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．答案：对应关系并集并集4．常见函数定义域的求法类型x满足的条件2nf（x），n∈N*f(x)≥01f（x）与[f(x)]0________logaf(x)(a＞0，a≠1)________logf(x)g(x)________________tanf(x)f(x)≠kπ＋π2，k∈Z答案：f(x)≠0f(x)＞0f(x)＞0，且f(x)≠1g(x)＞01．函数的概念(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝（x－1）2B．y＝x－1与y＝x－1x－1C．y＝4lgx与y＝2lgx2D．y＝lgx－2与y＝lgx100(2)下列所给图象是函数图象的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：(1)A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，对应的y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.答案：(1)D(2)B剖析：函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．2．函数的定义域已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝fx＋12＋fx－12的定义域是________．解析：因为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以函数g(x)＝fx＋12＋fx－12中的自变量x需要满足0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得12≤x≤32.所以函数g(x)的定义域是12，32.答案：12，32剖析：简单函数定义域的类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；②对应f下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．3．求函数解析式(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________．(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝________．解析：(1)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1.代入f(x＋1)＝x＋2x，得f(t)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1)．(3)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1，1)．答案：(1)x2－1(x≥1)(2)－12x(x＋1)(3)23lg(x＋1)＋13lg(1－x)(－1＜x＜1)剖析：函数解析式的求法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．(4)消去法：已知f(x)与f1x或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．1．下列各组函数中表示同一函数的是()A．f(x)＝x与g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|与g(x)＝3x3C．f(x)＝x|x|与g(x)＝x2（x＞0）－x2（x＜0）D．f(x)＝x2－1x－1与g(t)＝t＋1(t≠1)答案：D2．函数y＝ln(3－x)＋2x－4的定义域是()A．[2，3)B．[2，＋∞)C．(－∞，3)D．(2，3)答案：A3．下列函数中，与函数y＝1x定义域相同的函数为()A．y＝1xB．y＝xC．y＝x－2D．y＝lnx解析：函数y＝1x的定义域是(0，＋∞)，A中函数的定义域是{x|x≠0}，B中函数的定义域是{x|x≥0}，C中函数的定义域是{x|x≠0}，D中函数的定义域是(0，＋∞)．答案：D4．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝2x2－3xB．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝－3x2－2x解析：(待定系数法)设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，所以a＋b＋c＝1，a－b＋c＝5，c＝0，解得a＝3，b＝－2，c＝0，所以g(x)＝3x2－2x，选B.答案：B5．已知f(x＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2B．f(x)＝x2＋1(x≥1)C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)D．f(x)＝x2－2x(x≥1)解析：函数f(x＋1)＝x＋1的定义域为[0，＋∞)，设t＝x＋1，则t≥1，x＝(t－1)2＝t2－2t＋1，所以f(t)＝t2－2t＋1＋1＝t2－2t＋2，t∈[1，＋∞)，所以f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)．答案：C6．已知f(x－1)＝x2＋3x－10，则f(x)＝0的解集为()A．{－2，3}B．{－1，6}C．{－6，1}D．{2，－3}解析：因为f(x－1)＝x2＋3x－10，令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－10＝t2＋5t－6，所以f(x)＝x2＋5x－6，由f(x)＝0，得x2＋5x－6＝0，解得x＝－6或x＝1，所以f(x)＝0的解集为{－6，1}．答案：C7．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1，1]，则y＝f(log2x)的定义域是________．解析：因为函数f(2x)的定义域为[－1，1]，所以－1≤x≤1，所以12≤2x≤2.所以在函数y＝f(log2x)中，12≤log2x≤2，所以2≤x≤4.答案：[2，4]8．已知函数f(x)＝x2＋2，x≥0x＋3，x0，则f(f(－1))＝________．解析：因为f(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝6.答案：69．若函数f(x)＝xax＋b(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．解：由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x1ax＋b－1＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，又因方程有唯一解，所以1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，所以f(x)＝2xx＋2.10．根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．解：当－3≤x－1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－32x－72；当－1≤x1时，同理可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f(x)＝32x－12；当1≤x2时，f(x)＝1.所以f(x)＝－32x－72，－3≤x＜－1，32x－12，－1≤x＜1，1，1≤x＜2.