2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题八 平面向量 第32讲 平面向量的应用举例课件

专题八平面向量第32讲平面向量的应用举例1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．答案：(1)x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝02．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是________，它们的分解与合成与向量的______________相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．答案：(1)矢量加法和减法3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．向量在平面几何中的应用(1)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD→·BC→＝_______．(2)在平面四边形ABCD中，AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．梯形C．正方形D．菱形解析：(1)由题意BC→＝AC→－AB→，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→，AD→·BC→＝23AB→＋13AC→·(AC→－AB→)＝13AB→·AC→－23AB→2＋13AC→2＝13|AB→||AC→|cos120°－23AB→2＋13AC→2＝13×2×1×－12－23×4＋13×1＝－83.(2)AB→＋CD→＝0⇒AB→＝－CD→＝DC→⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(AB→－AD→)·AC→＝DB→·AC→＝0⇒DB→⊥AC→，所以平行四边形ABCD是菱形．答案：(1)－83(2)D剖析：解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，再通过向量运算研究几何元素之间的关系．2．向量在解析几何中的应用(1)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．①求证：AB⊥AD；②要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标．(2)已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA→·OB→＝________．(1)①证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以AB→＝(1，1)，AD→＝(－3，3)，由AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，得AB→⊥AD→.所以AB⊥AD.②解：因为AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，所以AB→＝DC→.设点C的坐标为(x，y)，则DC→＝(x＋1，y－4)，又AB→＝(1，1)，所以x＋1＝1，y－4＝1，所以x＝0，y＝5，所以C(0，5)．(2)解析：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)、半径r＝1，如图，因为AB＝3，取D为AB的中点，又OA＝1，所以∠AOD＝π3.所以∠AOB＝2π3.所以OA→·OB→＝1×1×cos2π3＝－12.答案：－12剖析：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”．(2)工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．3．向量的综合应用若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．解析：以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S＝|α||β|·sinθ＝|β|sinθ＝12，所以sinθ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sinθ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈π6，56π.答案：π6，56π剖析：利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案：B2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足PA→·PB→＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：D3．若△ABC内有一点O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，且OA→·OB→＝OB→·OC→，则△ABC一定是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形解析：因为OA→·OB→＝OB→·OC→，所以OB→·(OA→－OC→)＝OB→·CA→＝0，所以OB→⊥CA→，所以O在AC的高线上，又OA→＋OB→＋OC→＝0，所以OA→＋OC→＝－OB→，设AC的中点为D，所以OA→＋OC→＝－OB→＝2OD→，故O在AC的中线上，所以三角形一定是等腰三角形．选D.答案：D4．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两边的三角形的面积解析：如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，因为a⊥c，所以|cosθ|＝|sinα|.又|a|＝|c|，所以|b·c|＝|b||c||cosθ|＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．答案：A5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM→·ON→＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.π6B.712πC.76πD.73π答案：B6．已知在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，a·b0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________．解析：因为AB→·AC→0，所以∠BAC为钝角．又因为S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，所以sin∠BAC＝12，所以∠BAC＝150°.答案：150°7．单位圆上三点A，B，C满足OA→＋OB→＋OC→＝0，则向量OA→，OB→的夹角为________．解析：因为A，B，C为单位圆上三点，所以|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝1.又因为OA→＋OB→＋OC→＝0，所以－OC→＝OB→＋OA→.所以OC→2＝(OB→＋OA→)2＝OB→2＋OA→2＋2OB→·OA→.设OA→与OB→的夹角为θ，可得cosθ＝－12.所以向量OA→，OB→的夹角为120°.答案：120°8．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA→|2＋|PB→|2|PC→|2＝________．解析：因为PA→＝CA→－CP→，所以|PA→|2＝CA→2－2CP→·CA→＋CP→2.又因为PB→＝CB→－CP→，所以|PB→|2＝CB→2－2CP→·CB→＋CP→2.所以|PA→|2＋|PB→|2＝(CA→2＋CB→2)－2CP→·(CA→＋CB→)＋2CP→2＝AB→2－2CP→·2CD→＋2CP→2.又AB→2＝16CP→2，CD→＝2CP→，代入上式整理得|PA→|2＋|PB→|2＝10CP→2，故所求值为10.答案：109．如图所示，以原点和A(5，2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．解：设B(x，y)，则|OB→|＝x2＋y2.因为B(x，y)，A(5，2)，所以|AB→|＝（x－5）2＋（y－2）2.又|AB→|＝|OB→|，所以（x－5）2＋（y－2）2＝x2＋y2，整理，得10x＋4y＝29，①又OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)，且OB→⊥AB→.所以OB→·AB→＝0，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0，②由①、②解得x＝32，y＝72，或x＝72，y＝－32.所以B32，72或B72，－32.10．已知a＝cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，x∈0，π2.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．解：(1)由题意知，a·b＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22＝2cos2x＝2cosx，x∈0，π2.(2)f(x)＝cos2x－4λcosx＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈0，π2，所以cosx∈[0，1]，①当λ＜0，cosx＝0时，f(x)min＝－1，矛盾；②当0≤λ≤1，cosx＝λ时，f(x)min＝－1－2λ2，由－1－2λ2＝－32，得λ＝12；③当λ＞1，cosx＝1时，f(x)min＝1－4λ，由1－4λ＝－32，得λ＝58＜1，矛盾．综上，λ＝12.