2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题八 平面向量 第31讲 平面向量的数量积课件

专题八平面向量第31讲平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则________就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．答案：∠AOB2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________，由此得到：(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝________或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________．答案：x1x2＋y1y2(1)x2＋y2(3)x1x2＋y1y2＝01．平面向量数量积的运算(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→＝________．(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________．解析：(1)由CP→＝3PD→，得DP→＝14DC→＝14AB→，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，BP→＝AP→－AB→＝AD→＋14AB→－AB→＝AD→－34AB→.因为AP→·BP→＝2，所以(AD→＋14AB→)·(AD→－34AB→)＝2，即AD→2－12AD→·AB→－316AB→2＝2.又因为AD→2＝25，AB→2＝64，所以AB→·AD→＝22.(2)由题意知：AE→·BD→＝(AD→＋DE→)·(AD→－AB→)＝AD→＋12AB→·(AD→－AB→)＝AD→2－12AD→·AB→－12AB→2＝4－0－2＝2.答案：(1)22(2)2剖析：(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．2．用数量积求向量的模、夹角(1)已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB→＝2a＋2b，AC→＝2a－6b，D为BC中点，则|AD→|等于()A．2B．4C．6D．8(2)向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD→|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×3－2×2×3×cosπ6＋4＝4，则|AD→|＝2.(2)设a，b的夹角为θ.(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cosθ＝0，可得cosθ＝12，又因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案：(1)A(2)B剖析：根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cosθ＞0且两向量不共线．3．平面向量与三角函数已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(2，2)，a·b＝85，则cosx－π4等于()A．－35B．－45C.35D.45解析：因为a·b＝85，所以2sinx＋2cosx＝85，即222cosx＋22sinx＝85，所以cosxcosπ4＋sinxsinπ4＝45，即cosx－π4＝45.答案：D剖析：平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥a－52b，则a与b的夹角为()A.π3B.π4C.π2D.π6答案：A2．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π6答案：C3．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m等于()A．23B.3C．0D．－3答案：B4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12答案：B5．已知向量a＝(1，－cosθ)，b＝(1，2cosθ)，且a⊥b，则cos2θ等于()A．－1B．0C.12D.22答案：B6．在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0，0)，B(1，1)，则AB→·AC→＝________．解析：由题意得AB→·AC→＝1×2cosπ4＝1.答案：17．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________．解析：由题意得，|2a－b|2＝4a2－4a·b＋|b|2＝4－4|a|·|b|cos45°＋|b|2，则4－4|a|·|b|cos45°＋|b|2＝10⇒|b|＝32.答案：328．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，则AC→·AE→＝________．解析：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，C(3，3)，E32，3，所以AC→＝(3，3)，AE→＝32，3，所以AC→·AE→＝3×32＋3×3＝272.答案：2729．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，即4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又因为|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6.所以cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12，又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝13.(3)因为AB→与BC→的夹角θ＝2π3，所以∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，所以S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.10．已知x∈0，π3，设向量m＝(sinx，cosx)，n＝32，12.(1)若m∥n，求x的值；(2)若m·n＝35，求sinx－π12的值．解：(1)因为m＝(sinx，cosx)，n＝32，12，且m∥n，所以sinx·12＝cosx·32，即tanx＝3，又x∈0，π3，所以x＝π3.(2)因为m＝(sinx，cosx)，n＝32，12，且m·n＝35，所以32sinx＋12cosx＝35，即sinx＋π6＝35，令θ＝x＋π6，则x＝θ－π6，且sinθ＝35，因为x∈0，π3，故θ∈π6，π2，所以cosθ＝1－sin2θ＝1－352＝45，故sinx－π12＝sinθ－π6－π12＝sinθ－π4＝sinθcosπ4－cosθsinπ4＝35×22－45×22＝－210.