2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题八 平面向量 第29讲 平面向量的概念及线性运

专题八平面向量第29讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有________又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称____)平面向量是自由向量零向量长度为____的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向____或______的非零向量共线向量________的非零向量0与任一向量____或共线相等向量长度______且方向____的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度______且方向____的向量0的相反向量为0答案：大小方向长度模01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b).数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向______；当λ0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0.(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.答案：三角形平行四边形三角形相同相反3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.1．平面向量的概念设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.答案：D剖析：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．2．平面向量的线性运算在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b解析：如图，AF→＝AD→＋DF→，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故DF→＝13AB→，则AF→＝12a＋12b＋1312a－12b＝23a＋13b.答案：B剖析：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．3．共线定理的应用(1)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：(1)因为BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，所以BD→，AB→共线，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选B.(2)DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，因为DE→＝λ1AB→＋λ2AC→，所以λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.答案：(1)B(2)12剖析：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)非零向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．1．设a，b是两个非零向量，则下列结论不正确的是()A．若存在一个实数k满足a＝kb，则a与b共线B．若a＝b，则|a|＝|b|C．|a＋b|＞|a－b|D．若a与b为两个方向相同的向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|答案：C2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.BC→B.AD→C.12BC→D.12AD→解析：向量加法法则得BE→＝12BA→＋BC→，CF→＝12(CB→＋CA→)，则EB→＋FC→＝－12(BA→＋BC→)－12(CB→＋CA→)＝－12(BA→＋CA→)＝12(AB→＋AC→)＝12·2AD→＝AD→.答案：B3．如图，点M是△ABC的重心，则MA→＋MB→－MC→为()A．0B．4ME→C．4MD→D．4MF→解析：因为点M是△ABC的重心，所以有F点是中点，MF＝13CF＝12CM，因为MA→＋MB→＝2MF→，所以MA→＋MB→－MC→＝2MF→＋CM→＝4MF→.答案：D4．设e1，e2不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是()A．e1＋e2与e1－e2B．3e1－2e2与4e2－6e1C．e1＋2e2与e2＋2e1D．e2和e1＋e2答案：B5．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA→＋OB→＋OC→＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B6．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s的值是()A.23B.43C．－3D．0答案：D7．已知e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当k＝________时，a，b共线．解析：因为e1，e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当a，b共线时，则有k＝±1.答案：±18．设两个向量a＝(λ，λ－2cosα)和b＝m，m2＋sinα，其中λ、m、α为实数，若a＝2b，则m的取值范围是________．解析：因为a＝2b，所以λ＝2m，λ－2cosα＝2m2＋sinα，所以m＝2sinα＋2cosα＝22sinα＋π4∈[－22，22]．答案：[－22，22]9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.解：AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b.AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)若AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．(2)试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．(3)若AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线．(1)解：因为AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，所以AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.因为A，C，F三点共线，所以AC→∥AF→，从而存在实数λ，使得AC→＝λAF→.所以3e1－2e2＝3λe1－λke2，即(3－3λ)e1＝(2－λk)e2，又e1，e2是不共线的非零向量，所以3－3λ＝0，2－λk＝0，因此k＝2.(2)解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，(k－λ)e1＝(λk－1)e2，所以k－λ＝0，λk－1＝0，解得k＝±1.(3)证明：因为AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，所以AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，所以CD→＝－2AC→，所以AC→与CD→共线．又因为AC→与CD→有公共点C，所以A，C，D三点共线．