立体几何中添加辅助线的策略

快乐学习，尽在中小学教育网第1页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010－82310666立体几何中添加辅助线的策略王留廷立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。一、添加垂线策略。因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。例1.在三棱锥ABCO中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函数表示）。图1解：如图1，由题意可设aOA，则3ABCOa61V,a2CABCAB，O点在底面的射影D为底面ABC的中心，a33S31VODABCABCO。又a63MC31DM，OM与平面ABC所成角的正切值是2a66a33tan，所以二面角大小是2arctan。点评：本题添加面ABC的垂线OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方面它构造出了正三棱锥里面的ODMRt，ODCRt，另一方面也构造出了OM与平面ABC所成的角。二、添加平行线策略。其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。例2.如图2，在正方体1111DCBAABCD中，4BAFDEB11111，则1BE与DF所成角的余弦值是（）快乐学习，尽在中小学教育网第2页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010－82310666A.1715B.21C.178D.23图2解析：取4BAGA111，易得四边形ADFG是平行四边形，则AG//DF，再作AG//EE1，四边形EAGE1也是平行四边形，EBE1就是1BE与DF所成角，由余弦定理，算出结果，选A。点评：求异面直线所成角常采用平移法。三、向中心对称图形对称中心添加连线策略。这主要是因为对称中心是整个图形的“交通”枢纽，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有对平行四边形连对角线，对圆的问题向圆心连线，对球体问题向球心连线。例3.如图3，O是半径为1的球的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A.4B.3C.2D.42图3解析：添加辅助线OE、OF，连结EF，构成OEF，关键是求EOF。为了使EF与已知条件更好地联系起来，过E作AOEG，垂足为G，连结FG，构造GEF，在图3中，2EGF,FG224sin1EG。3EOF,OFOE1FGEGEF22点E、F在该球面上的球面距离为313，故选B。快乐学习，尽在中小学教育网第3页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010－82310666点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。四、名线策略。即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和未知集中在一个三角形中。例4.如图4，正三棱柱111CBAABC的各棱长都为2，E、F分别是AB、11CA的中点，则EF的长是（）。图4A.2B.3C.5D.7解析：如图4所示，取AC的中点G，连结EG、FG，则易得1EG,2FG，故5EF，选C。点评：本题充分体现了中位线的重要性。五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。例5.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6解析：把这个正四面体BCDA补成正方体，如图5，正四面体BCDA可看成是由正方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面。因为四面体BCDA的棱长为2，所以正方体棱长为1，正方体的体对角线长为球的直径3R2，所以球的表面积3434R4S2，选A。图5快乐学习，尽在中小学教育网第4页（共4页）正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010－82310666点评：把一些线面关系放到正方体中思考，能给问题一个更好的参照，使各种线面关系易于理解。