（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 4 第4讲 数系的扩充与复数的引入

数学第五章平面向量、复数第4讲数系的扩充与复数的引入01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是_____，虚部是_____．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b_____0），虚数（b_____0）纯虚数（a_____0，b_____0），非纯虚数（a≠0，b≠0）.ab＝≠＝≠(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔__________________(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔__________________(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作_____或__________，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．a＝c且b＝da＝c且b＝－d|z||a＋bi|2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi――――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――――→一一对应__________________．平面向量OZ→3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝__________________(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝___________，(z1＋z2)＋z3＝______________．(ac－bd)＋(ad＋bc)iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2iz2＋z1z1＋(z2＋z3)[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．()×××××[教材衍化]1．(选修2­2P106B组T1改编)设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝________．解析：1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝i－11＋i＝－（1－i）22＝i，所以|z|＝|i|＝1.答案：12．(选修2­2P112A组T2改编)在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是________．解析：CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.答案：－3－4i3．(选修2­2P116A组T2改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．解析：因为z为纯虚数，所以x2－1＝0，x－1≠0，所以x＝－1.答案：－1[易错纠偏](1)复数的几何意义不清致误；(2)复数的运算方法不当致使出错；(3)z与z－的不清致误．1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：选C.因为A(6，5)，B(－2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.2．若a为实数，且2＋ai1＋i＝3＋i，则a＝________．解析：由2＋ai1＋i＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.答案：43．已知(1＋2i)z－＝4＋3i，则z＝________．解析：因为z－＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝10－5i5＝2－i，所以z＝2＋i.答案：2＋i(1)设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z－2；p4：若复数z∈R，则z－∈R.复数的有关概念其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4(2)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．【解析】(1)对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，得b＝0，则z∈R成立，故命题p1正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝a2－b2＋2abi∈R，得ab＝0，则a＝0或b＝0，复数z可能为实数或纯虚数，故命题p2错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝z－2，故命题p3错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以z－＝a∈R成立，故命题p4正确．故选B.(2)因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，所以a2－b2＝3，2ab＝4，所以a＝2，b＝1或a＝－2，b＝－1，所以a2＋b2＝5，ab＝2.【答案】(1)B(2)52解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)设复数z＝2－i1＋i，则z的共轭复数为()A．12－32iB．12＋32iC．1－3iD．1＋3i解析：选B.z－＝2＋i1－i＝（2＋i）（1＋i）2＝12＋32i.2．(2020·浙江省高中学科基础测试)已知复数a＋2i1＋i(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝()A．－2B．－1C．0D．2解析：选A.a＋2i1＋i＝a＋22＋2－a2i，由a＋2i1＋i是纯虚数得a＋22＝0，所以a＝－2，故选A.(1)(2020·台州模拟)复数z＝3＋i1＋i＋3i在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋2iB．1－2iC．－2＋iD．2＋i复数的几何意义(3)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则|z1＋z2|＝()A．2B．3C．22D．33【解析】(1)z＝3＋i1＋i＋3i＝（3＋i）（1－i）（1＋i）（1－i）＋3i＝4－2i2＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z＝5i（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(－2，1)对应的复数为－2＋i.(3)由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，所以|z1＋z2|＝2.【答案】(1)A(2)C(3)A复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.z－i＝|3＋4i|＝32＋42＝5，z＝5＋i，对应点(5，1)，在第一象限，故选A.2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解析：选A.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m＋3＞0，m－1＜0，解得－3＜m＜1，故选A.复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小．主要命题角度有：(1)复数的乘法运算；(2)复数的除法运算；(3)利用复数相等求参数．复数代数形式的运算(高频考点)角度一复数的乘法运算(2020·浙江新高考冲刺卷)已知复数z＝1＋i，其中i为虚数单位，则复数1＋z＋z2＋…＋z2017的实部为()A．1B．－1C．21009D．－21009【解析】因为z＝1＋i，所以1＋z＋z2＋…＋z2017＝1×（1－z2018）1－z＝z2018－1z－1＝（1＋i）2018－11＋i－1＝（2i）1009－1i＝（－1＋21009i）（－i）－i2＝21009＋i.所以复数1＋z＋z2＋…＋z2017的实部为21009.故选C.【答案】C角度二复数的除法运算计算下列各式的值．(1)2i1＋i2；(2)2＋4i（1＋i）2；(3)1＋i1－i＋i3.【解】(1)2i1＋i2＝4i2（1＋i）2＝－42i＝2i.(2)2＋4i（1＋i）2＝2＋4i2i＝2－i.(3)1＋i1－i＋i3＝（1＋i）2（1－i）（1＋i）＋i3＝2i2＋i3＝i－i＝0.角度三利用复数相等求参数已知1＋2i2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝()A．－7B．7C．－4D．4【解析】因为1＋2i2＝1＋4i＋4i2＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故选A.【答案】A(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．1．(2018·高考浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选B.因为21－i＝2（1＋i）（1－i）（1＋i）＝2（1＋i）1－i2＝1＋i，所以复数21－i的共轭复数为1－i，故选B.2．(2020·嘉兴一中高考模拟)复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，则复数|zi|＝()A．253B．2C．553D．5解析：选D.复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，所以z·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z＝10－5i，可得z＝2－i.则复数|zi|＝2－ii＝－i（2－i）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝5.故选D.3．(2019·高考浙江卷)复数z＝11＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．解析：通解：z＝11＋i＝1－i2＝12－i2，所以|z|＝122＋－122＝22.优解：|z|＝11＋i＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放