（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 3 第3讲 平面向量的数量积及应用

数学第五章平面向量、复数第3讲平面向量的数量积及应用举例01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则________就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是________________若θ＝0°，则a与b______；若θ＝180°，则a与b______；若θ＝90°，则a与b______∠AOB0°≤θ≤180°同向反向垂直2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量_____________叫做a与b的数量积，记作a·b投影__________叫做向量a在b方向上的投影，__________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3．向量数量积的运算律(1)a·b＝________；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________；(3)(a＋b)·c＝________________.b·aa·(λb)a·c＋b·c4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝________|a|＝__________夹角cosθ＝________cosθ＝________________a⊥b的充要条件____________________________a·ax21＋y21a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()√√××××[教材衍化]1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()A．12B．6C．33D．3解析：选B.a·b＝|a||b|cos135°＝－122，所以|b|＝－1224×－22＝6.2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：123．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－2[易错纠偏](1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，所以a·b＋b·c＋a·c＝－32.答案：－322．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为________．解析：AB→＝(2，1)，CD→＝(5，5)，由定义知，AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.答案：3223．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－12，所以a·b＝－1×－12＋2×1＝52.答案：52(1)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝OA→·OB→，I2＝OB→·OC→，I3＝OC→·OD→，则()A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3平面向量数量积的运算(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1【解析】(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而∠AFB＝90°，所以∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角．根据题意，I1－I2＝OA→·OB→－OB→·OC→＝OB→·(OA→－OC→)＝OB→·CA→＝|OB→|·|CA→|·cos∠AOB0，所以I1I2，同理得，I2I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，所以OBBG＝GDOD，而OAAF＝FCOC，所以|OA→|·|OB→||OC→|·|OD→|，而cos∠AOB＝cos∠COD0，所以OA→·OB→OC→·OD→，即I1I3.所以I3I1I2.(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，为－32，选择B.【答案】(1)C(2)B(变问法)在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则AD→·AE→等于________．解析：法一：(通性通法)因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝23，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝232＋22－2×23×2×12＝289，即AD＝273，同理可得AE＝273，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝AD2＋AE2－DE22AD·AE＝289＋289－2322×273×273＝1314，所以AD→·AE→＝|AD→|·|AE→|cos∠DAE＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A(0，3)，D－13，0，E13，0，所以AD→＝－13，－3，AE→＝13，－3，所以AD→·AE→＝－13，－3·13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．1．(2020·杭州中学高三月考)若A，B，C三点不共线，|AB→|＝2，|CA→|＝3|CB→|，则CA→·CB→的取值范围是()A.13，3B.－13，3C.34，3D.－34，3解析：选D.设|CB→|＝x，则|CA→|＝3|CB→|＝3x，由于A，B，C三点不共线，能构成三角形，如图：由三角形三边的性质得，x＋3x23x＋2xx＋23x，解得12x1，由余弦定理的推论得，cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝x2＋9x2－46x2＝10x2－46x2，所以CA→·CB→＝|CA→||CB→|cosC＝3x2×10x2－46x2＝5x2－2，由12x1得，－345x2－23，故选D.2．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．解析：由题意，令e＝(1，0)，a＝(cosα，sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，则由|a·e|＋|b·e|≤6，可得|cosα|＋2|cosβ|≤6.①令sinα＋2sinβ＝m，②①2＋②2得4[|cosαcosβ|＋sinαsinβ]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cosαcosβ|＋sinαsinβ]≤1，故a·b＝2(cosαcosβ＋sinαsinβ)≤2[|cosαcosβ|＋sinαsinβ]≤12.答案：12平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．主要命题角度有：(1)求两向量的夹角；(2)求向量的模；(3)两向量垂直问题；(4)求参数值或范围．平面向量的夹角与模(高频考点)角度一求两向量的夹角(2020·绍兴一中高三期中)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，化简可得a·b＝0，设向量a＋b与a的夹角为θ，则可得cosθ＝（a＋b）·a|a＋b||a|＝a2＋a·b|a＋b||a|＝|a|22|a|2＝12，又θ∈[0，π]，故θ＝π3.【答案】B角度二求向量的模(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．3－1B．3＋1C．2D．2－3【解析】法一：设O为坐标原点，a＝OA→，b＝OB→＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x(x0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA→|－|CB→|＝3－1.故选A.法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝OB→，e＝OE→，3e＝OF→，所以b－e＝EB→，b－3e＝FB→，所以EB→·FB→＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝OA→，作射线OA，使得∠AOE＝π3，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|CA→|－|BC→|≥3－1.故选A.【答案】A角度三两向量垂直问题已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.求k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?【解】由已知得，a·b＝4×8×－12＝－16.因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.所以k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．角度四求参数值或范围已知△ABC是正三角形，若AC→－λAB→与向量AC→的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【解析】因为AC→－λAB→与向量AC→的夹角大于90°，所以(AC→－λAB→)·AC→0，即|AC→|2－λ|AC→|·|AB→|cos60°0，解得λ2.故填(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利