（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 1 第1讲 平面向量的概念及线性运

数学第五章平面向量、复数第1讲平面向量的概念及线性运算01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优知识点最新考纲平面向量的几何意义及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.向量的线性运算掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.知识点最新考纲平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的概念及其几何意义．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.复数了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．了解复数的加、减运算的几何意义．理解复数代数形式的四则运算.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的______．(2)零向量：长度为______的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于____________的向量．方向模01个单位(4)平行向量：方向相同或______的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向______的向量．(6)相反向量：长度相等且方向______的向量．相反相同相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝_______；结合律：(a＋b)＋c＝____________减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝______，当λ0时，λa与a的方向______；当λ0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____λ(μa)＝__________；(λ＋μ)a＝__________；λ(a＋b)＝__________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得__________．b＝λa[说明]三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．()(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()×√×××√[教材衍化](必修4P108B组T5改编)在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为________．解析：如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形[易错纠偏](1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量线性运算不熟致错；(3)向量三角不等式认识不清致错．1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．解析：DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，所以λ1＝－16，λ2＝23.答案：－16233．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2|a－b|6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．答案：[2，6]给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命题的序号是________．平面向量的有关概念【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．平面向量的线性运算(高频考点)角度一用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么EF→等于()A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→【解析】在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.因为点E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，所以CF→＝23CB→.所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→＝12AB→－23AD→，故选D.【答案】D角度二求参数的值如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ＝________．【解析】因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为点M为AH的中点，所以AM→＝12AH→＝12(AB→＋BH→)＝12AB→＋13BC→＝12AB→＋16BC→，又AM→＝λAB→＋μBC→，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．(2020·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，Nn－1分别将线段BC和DC进行n等分(n∈N*，n≥2)，如图，若AM1→＋AM2→＋…＋AMn－1——→＋AN1→＋AN2→＋…＋ANn－1——→＝45AC→，则n＝()A．29B．30C．31D．32解析：选C.由题图知，因为AM1→＝AB→＋1nBC→，AM2→＝AB→＋2nBC→，…，AMn－1——→＝AB→＋n－1nBC→，AN1→＝AD→＋1nDC→，AN2→＝AD→＋2nDC→，…，ANn－1——→＝AD→＋n－1nDC→.AB→＝DC→，AD→＝BC→.所以AM1→＋AM2→＋…＋AMn－1——→＋AN1→＋AN2→＋…＋ANn－1——→＝n－1＋1n＋2n＋…＋n－1n·(AD→＋AB→)＝3（n－1）2AC→，所以3（n－1）2＝45，解得n＝31.故选C.2．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最大值22＋42＝25.答案：025设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．平面向量共线定理的应用【解】(1)证明：因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→，BD→共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是()A．λ＝0B．λ＝－1C．λ＝－2D．λ＝－12解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，因为a，b共线⇔b＝12a⇔b＝e1－12e2⇔λ＝－12.2.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB→＝a，AC→＝b.(1)试用a，b表示BC→，AD→，BE→；(2)证明：B，E，F三点共线．解：(1)△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，所以BC→＝AC→－AB→＝b－a，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋14BC→＝a＋14(b－a)＝34a＋14b，BE→＝BA→＋AE→＝－AB→＋13AC→＝－a＋13b.(2)证明：BE→＝－a＋13b，BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋23AD→＝－a＋23