（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 1 第1讲 任意角和弧度制及任

数学第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破知识点最新考纲任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性.同角三角函数的基本关系式与诱导公式理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.知识点最新考纲两角和与差的正弦、余弦及正切公式掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.简单的三角恒等变换掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用.1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着______从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．端点(2)角的分类按旋转方向正角按________方向旋转而成的角负角按________方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合按终边位置象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________．逆时针顺时针{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．弧度制(1)定义：长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝____角度与弧度的换算1°＝______rad，1rad＝180π°≈57°18′弧长公式l＝______扇形面积公式S＝______＝12|α|r2半径长lrπ180|α|r12lr3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么____叫做α的正弦，记作sinα____叫做α的余弦，记作cosα____叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ____________Ⅱ____________Ⅲ____________Ⅳ____________口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦yxyx正正正正负负负负正负正负三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段____为正弦线，有向线段____为余弦线，有向线段____为正切线MPOMAT[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(5)若α∈0，π2，则tanα＞sinα.()(6)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()×√×√√√[教材衍化]1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．答案：－5π4二2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________．解析：由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－35，cosθ＝45，所以2cosθ－sinθ＝2×45－－35＝115.答案：1153．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π3[易错纠偏](1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.2．若sinα0，且tanα0，则α是第____象限角．解析：由sinα0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tanα0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．答案：三3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα0，则tanα＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝yx＝－xx＝－1.答案：－1(1)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角象限角及终边相同的角(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合是()A.α|α＝2kπ－π3，k∈ZB.α|α＝2kπ＋2π3，k∈ZC.α|α＝kπ－2π3，k∈ZD.α|α＝kπ－π3，k∈Z(3)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．【解析】(1)因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．(2)根据题意，角α的终边在直线y＝－3x上，α为第二象限角时，α＝2π3＋2kπ＝(2k＋1)π－π3，k∈Z；α为第四象限角时，α＝5π3＋2kπ＝(2k＋2)π－π3，k∈Z；综上，角α的取值集合是α|α＝kπ－π3，k∈Z.故选D.(3)如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.【答案】(1)C(2)D(3)－53π，－23π，π3，43π(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法①将θ的范围用不等式(含有k)表示．②两边同除以n或乘以n.③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°2．若sinα·tanα0，且cosαtanα0，则α是第________象限角．解析：由sinα·tanα0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角；由cosαtanα0，可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？扇形的弧长、面积公式【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10cm，α＝2rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式是l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒]运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是()A．4B．2C．8D．1解析：选A.设扇形的弧长为l，则12l·2＝8，即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α2r32πr2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·23r2πr＝518.答案：518三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．主要命题角度有：(1)利用三角函数定义求值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解三角不等式；(4)三角函数定义中的创新．三角函数的定义(高频考点)角度一利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P(x，5)，且cosα＝24x，则tanα＝()A．155B．153C．－155D．－153【解析】因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，5)，且cosα＝24x，所以x＜0，cosα＝xx2＋5＝24x，解得x＝－3，所以tanα＝5－3＝－153.【答案】D角度二判断三角函数值的符号若tanα0，则()A．sinα0B．cosα0C．sin2α0D．cos2α0【解析】因为tanα＞0，所以α∈kπ，kπ＋π2(k∈Z)是第一、三象限角．所以sinα，cosα都可正、可负，排除A，B.而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，结合正弦函数图象可知，C正确．取α＝π4，则tanα＝10，而cos2α＝0，故D不正确．【答案】C角度三利用三角函数线解不等式函数y＝sinx－32的定义域为________．【解析】由题意，得sinx≥32，作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.【答案】2kπ＋π3，2kπ＋2π3，k∈Z角度四三角函数定义中的创新(2020·台州质检)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】因为P0(2，－2)，所以∠P0Ox＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－π4.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sint－π4，因此d＝2sint－π4.令t＝0，则d＝2sin－π4＝2.当t＝π4时，d＝0，故选C.【答案】C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒]若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．1．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为2，若α＝π4，则点P的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(2，2)D．(1，1)解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得sinπ4＝y2，cosπ4＝x2，即x＝2c