（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 6 第6讲 离散型随机变量及其

数学第十章计数原理与古典概率第6讲离散型随机变量及其分布列01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化__________的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以______________的随机变量．而变化一一列出2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的______________，简称为X的______________，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥_______(i＝1，2，…，n)；②∑ni＝1pi＝_______．概率分布列分布列013．两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P______________其中p＝______________称为成功概率.1－ppP(X＝1)[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．()(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．()(5)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．()X25P0.30.7√×√√√[教材衍化]1．(选修2­3P77A组T1改编)设随机变量X的分布列如下：X12345P112161316p则p＝________．解析：由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，所以p＝1－34＝14.答案：142．(选修2­3P49A组T1改编)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3.答案：0，1，2，33．(选修2­3P49A组T5改编)设随机变量X的分布列为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________．解析：由13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.答案：512[易错纠偏]随机变量的概念不清.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数解析：选C.A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．离散型随机变量的分布列的性质【解】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.(1)2X＋1的分布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列为|X－1|0123P0.10.30.30.3(变问法)在本例条件下，求P(1X≤4)．解：由本例知，m＝0.3，P(1X≤4)＝P(X＝2)＋(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值为()A．3B．4C．10D．不确定解析：选C.“X＜4”的含义为X＝1，2，3，所以P(X＜4)＝3n＝0.3，所以n＝10.2．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.答案：23－13，13离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；(2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)离散型随机变量的分布列(高频考点)角度一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【解】(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为X23P1434角度二古典概型的离散型随机变量的分布列(2020·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．【解】(1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A，P(A)＝C12C24＋C22C14C36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45.(2)X的可能取值为3，4，5.P(X＝3)＝1C36＝120；P(X＝4)＝C12C23＋C22C13C36＝920；P(X＝5)＝C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X345P12092012离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒]求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n的最大值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C1n－6C16C2n＝12（n－6）n（n－1），则12（n－6）n（n－1）≥12，化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16.(2)由题意得，X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝C26C212＝522，P(X＝1)＝C16C16C212＝611，P(X＝2)＝C26C212＝522，X的分布列为X012P522611522本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放