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数学第2讲两直线的位置关系第九章平面解析几何01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线的位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行_________k1与k2都不存在垂直____________k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－12.两直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝________________________点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_________________线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝_________（x2－x1）2＋（y2－y1）2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B24.几种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()××√√√[教材衍化]1．(必修2P110B组T2改编)已知点(a，2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．解析：由题意得|a－2＋3|1＋1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1－2.因为a0，所以a＝－1＋2.答案：2－12．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．解析：由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案：1[易错纠偏]常见误区(1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；(2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；(3)求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．1．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝________．解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.答案：2或－32．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.答案：0或13．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋12＝0，则两平行线间的距离为d＝|2－12|2＝324.答案：324(2020·金丽衢十二校高三联考)设两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m＜－1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件两条直线平行与垂直【解析】若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2⇒m＝－1或－7，经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，所以m＝－7，故是充分不必要条件，故选A.【答案】A由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为()A．7B．9C．11D．－7解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．主要命题角度有：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)距离公式的综合应用．距离公式(高频考点)角度一求距离已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，10a)，则线段AB的长为________．【解析】依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(－2y，y)，故x－2y＝02x＋y＝10，则A(4，8)、B(－4，2)，所以|AB|＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.【答案】10角度二已知距离求参数值(1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[－10，10]B．[－10，5]C．[－5，5]D．[0，10](2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是________．【解析】(1)由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3·a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．(2)依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以c2＋132＋（－2）2＝21313，因此c＝2或－6.【答案】(1)D(2)2或－6角度三距离公式的综合应用(1)P点在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1)D．(2，1)或(－1，2)(2)在△ABC中，A(1，1)，B(m，m)(1m4)，C(4，2)，则当△ABC的面积最大时，m＝________．【解析】(1)设P点坐标为(x，5－3x)，则P点到直线x－y－1＝0的距离d＝|x－（5－3x）－1|2＝|4x－6|2＝2，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2.所以P点坐标为(1，2)或(2，－1)．(2)由两点间距离公式可得|AC|＝10，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝|m－3m＋2|10，所以△ABC的面积S＝12|AC|·d＝12|m－3m＋2|＝12|m－322－14|，又1m4，所以1m2，所以当m＝32，即m＝94时，S取得最大值．【答案】(1)C(2)94距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．1．已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4B．3C．2D．1解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝22.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程12×22h＝2，即h＝2.由点到直线的距离公式得2＝|t＋t2－2|2，即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－32＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋32|，解得c＝－154，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.答案：12x＋8y－15＝0已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．对称问题【解】(1)设A′(x，y)，由已知y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.所以A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)关于y轴对称的直线的方程为()A．Ax－By－C＝0B．Ax＋By－C＝0C．Ax－By＋C＝0D．Bx＋Ay＋C＝0解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)，将直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)中的x用－x代换得－Ax＋By＋C＝0，即Ax－By－C＝0，故选A.2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.答案：210思想方法系列6妙用直线系求直线方程求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解】法一：将直线l1，l2的方程联立，得3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，即直线l1，l2的交点为(－1，2)．由题意得直线l3的斜率为35，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－53，则直线l的方程是y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋c＝0，将直线l1，l2的方程联立，得3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋c＝0，解得c＝－1，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝15，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.(1)本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l