（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函

数学第二章函数概念与基本初等函数第4讲二次函数与幂函数01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破1．幂函数(1)定义：形如_________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.y＝xα(α∈R)(2)图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝_________________．②顶点式：f(x)＝_________________．③零点式：f(x)＝___________________．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)单调性在－∞，－b2a上单调递减；在_________________上单调递增在_______________上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称－b2a，＋∞－∞，－b2a[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()×√×××√[教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a0，b1，0c1，故acb.答案：acb2．(必修1P39B组T1改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________．解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[－1，3]．答案：[－1，3][易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准；(2)二次函数的单调性规律掌握不到位；(3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图，若a0，b0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a0，b0，所以二次函数图象的对称为x＝－b2a0，故③正确．答案：③2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．解析：因为函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，所以m0－12m≤3，即m≤－16.答案：－∞，－163．当x∈(0，1)时，函数y＝xm的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________．答案：(－∞，1)(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()(2)若(a＋1)12(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．幂函数的图象及性质【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，故选C.(2)易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋13－2a，解得－1≤a23.【答案】(1)C(2)－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α0.1．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m0，故m＝1.答案：12．当0x1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)g(x)f(x)．答案：h(x)g(x)f(x)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．求二次函数的解析式【解】法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，所以－a＝－－2ab，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋42．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，a＝1，所以所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题；(2)二次函数的单调性问题；(3)二次函数的最值问题．二次函数的图象与性质(高频考点)角度一二次函数图象的识别问题已知abc0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()【解析】A项，因为a0，－b2a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)＝c0，故A错．B项，因为a0，－b2a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)＝c0，故B错．C项，因为a0，－b2a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)＝c0，故C错．D项，因为a0，－b2a0，所以b0，因为abc0，所以c0，而f(0)＝c0，故选D.【答案】D角度二二次函数的单调性问题函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知a03－a2a≤－1，解得－3≤a0.综上，a的取值范围为[－3，0]．【答案】[－3，0](变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a为何值？解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以a0，a－3－2a＝－1，解得a＝－3.角度三二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，当a－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，当a2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，则g(a)＝2＋2a，a－1，1－a2，－1≤a≤2，5－4a，a2，可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关解析：选B.f(x)＝x＋a22－a24＋b，①当0≤－a2≤1时，f(x)min＝m＝f－a2＝－a24＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，所以M－m＝maxa24，1＋a＋a24与a有关，与b无关；②当－a20时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－a21时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以M－m＝f(0)－f(1)＝