（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第4讲 不等式

数学第2部分高考热点专题突破专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第4讲不等式01考点102考点203考点305专题强化训练04考点4[核心提炼]1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．不等式的解法2．简单分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[典型例题](1)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是()A.－∞，－32∪12，＋∞B.－32，12C.－∞，－12∪32，＋∞D.－12，32(2)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1，3)，所以a＜0，且1－aba＝2，－ba＝－3，解得a＝－1或13(舍去)，所以a＝－1，b＝－3，所以f(x)＝－x2＋2x＋3，所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，解得x＞12或x＜－32，故选A.(2)当a＝2时，不等式化为－40，恒成立；当a≠2时，由条件知a－20Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）0，解得－2a2.综上所述，a的取值范围是(－2，2]．【答案】(1)A(2)(－2，2]不等式的求解技巧(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得出不等式的解集．(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．[对点训练]1．不等式x2x－11的解集为()A.12，1B．(－∞，1)C.－∞，12∪(1，＋∞)D.12，2解析：选A.原不等式等价于x2x－1－10，即x－（2x－1）2x－10，整理得x－12x－10，不等式等价于(2x－1)(x－1)0，解得12x1.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知关于x的不等式ax2－ax－2a21(a0，a≠1)的解集为(－a，2a)，且函数f(x)＝1ax2＋2mx－m－1的定义域为R，则实数m的取值范围为________．解析：当a1时，由题意可得x2－ax－2a20的解集为(－a，2a)，这显然是不可能的．当0a1时，由题意可得x2－ax－2a20的解集为(－a，2a)，且1ax2＋2mx－m≥1a0，即x2＋2mx－m≥0恒成立，故对于方程x2＋2mx－m＝0，有Δ＝4m2＋4m≤0，解得－1≤m≤0.答案：[－1，0][核心提炼]1．含绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法①若c0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c，或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；②若c0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.绝对值不等式(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．2．绝对值不等式的性质(三角不等式)(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．[典型例题](1)(2019·绍兴市诸暨市高考二模)已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是()A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2(2)(2019·新高考研究联盟第一次联考)已知函数f(x)＝|x2－a|＋|x－b|(a，b∈R)，当x∈[－2，2]时，记f(x)的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为________．【解析】(1)因为|x－a|≤1，所以a－1≤x≤a＋1，因为f(x)是二次函数，所以f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调时，|f(x)－f(a)|取得最大值为|f(a＋1)－f(a)|或|f(a－1)－f(a)|，而|f(a＋1)－f(a)|＝|(a＋1)2＋3(a＋1)－a2－3a|＝|2a＋4|≤2|a|＋4，|f(a－1)－f(a)|＝|(a－1)2＋3(a－1)－a2－3a|＝|－2a－2|＝|2a＋2|≤2|a|＋2.所以|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4，故选B.(2)法一：根据对称性，不妨设b≤0，x∈[0，2]，所以f(x)＝|x2－a|＋x－b，所以M(a，b)≥|x2－a|＋x－b≥|x2－a|＋x.令g(x)＝|x2－a|＋x，x∈[0，2]①当a≤0时，g(x)＝x2＋x－a，g(x)max＝6－a≥6；②当0＜a＜4时，g(x)＝－x2＋x＋a，x∈[0，a]，x2＋x－a，x∈[a，2]所以当0＜a＜14时，g(x)max＝max{a，6－a}＝6－a＞234；当14≤a＜4时，g(x)max＝max14＋a，6－a＝14＋a，238≤a＜4，6－a，14＜a＜238.所以g(x)max≥258.③当a≥4时，g(x)＝－x2＋x＋a，g(x)max＝14＋a≥174；综合①②③得M(a，b)min＝258，当且仅当a＝238，b＝0时取到．法二：f(x)＝max{|x2＋x－a－b|，|x2－x－a＋b|}，令f1(x)＝|x2＋x－a－b|，f2(x)＝|x2－x－a＋b|，g1(x)＝x2＋x－a－b，g2(x)＝x2－x－a＋b，根据图象可知：f1(x)max＝max|6－a－b|，－14－a－b，f2(x)max＝max|6－a＋b|，－14－a＋b.所以2f1(x)max≥|6－a－b|＋－14－a－b≥（6－a－b）－－14－a－b＝254，同理：2f2(x)max≥|6－a＋b|＋－14－a＋b≥（6－a＋b）－－14－a＋b＝254，当且仅当（6－a－b）＝－－14－a－b（6－a＋b）＝－－14－a＋b，即a＝238b＝0时取等号，所以M(a，b)min＝258.【答案】(1)B(2)258(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决是常用的思维方法．(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．[对点训练]1．(2019·宁波市六校联盟模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.当a＝－4时，则不等式f(x)≥6的解集为________；若f(x)≤|x－3|的解集包含[0，1]，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝－4时，f(x)≥6，即|x－4|＋|x－2|≥6，即x≤24－x＋2－x≥6或2x44－x＋x－2≥6或x≥4x－4＋x－2≥6，解得x≤0或x≥6.所以原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．由题可得f(x)≤|x－3|在[0，1]上恒成立．即|x＋a|＋2－x≤3－x在[0，1]上恒成立，即－1－x≤a≤1－x在[0，1]上恒成立．即－1≤a≤0.答案：(－∞，0]∪[6，＋∞)[－1，0]2．(2019·杭州学军中学高三模拟)已知a和b是任意非零实数．(1)求|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值；(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)因为|2a＋b|＋|2a－b||a|≥|2a＋b＋2a－b||a|＝|4a||a|＝4，所以|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4.(2)不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知，|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4，所以x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2，2]．[核心提炼]1．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．简单的线性规划问题2．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－abx＋zb可知zb是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)若实数x，y满足约束条件x－3y＋4≥0，3x－y－4≤0，x＋y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1B．1C．10D．12(2)(2018·高考浙江卷)若x，y满足约束条件x－y≥0，2x＋y≤6，x＋y≥2，则z＝x＋3y的最小值是____________，最大值是____________．(3)(2019·宁波高考模拟)已知A(1，1)，B(－2，1)，O为坐标原点，若直线l：ax＋by＝2与△ABO所围成区域(包含边界)没有公共点，则a－b的取值范围为________．【解析】(1)作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点(2，2)时，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故选C.(2)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.(3)A(1，1)，B(－2，1)，O为坐标原点，若直线l：ax＋by＝2与△ABO所围成区域(包含边界)没有公共点，得不等式组a＋b＜2－2a＋b＜2，令z＝a－b，画出不等式组表示的平面区域，判断知，z＝a－b在M取得最小值，由a＋b＝2，－2a＋b＝2解得M(0，2)，a－b的最小值为－2.a－b的取值范围是(－2，＋∞)．故答案为(－2，＋∞)．【答案】(1)C(2)－28(3)(－2，＋∞)解决线性规划问题应关注的三点(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的