第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断_____的陈述句叫做命题.其中判断为___的语句叫做真命题,判断为___的语句叫做假命题.真假真假2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有_____的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_________.相同没有关系3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的_____条件,q是p的_____条件p是q的___________条件p⇒q且qpp是q的___________条件pq且q⇒pp是q的_____条件p⇔qp是q的_________________条件pq且qp充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x2+2x-3<0”是命题.()(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”.()(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(5)q不是p的必要条件时,“pq”成立.()××√√√命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是()A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c解析:选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,故选A.(教材习题改编)“x4”是“x2-2x-30”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.因为x2-2x-30,所以该不等式的解集为{x|x-1或x3},所以x4⇒x2-2x-30.但x2-2x-30x4,所以“x4”是“x2-2x-30”的充分而不必要条件.(教材习题改编)命题p:x2=3x+4,命题q:x=3x+4,则p是q的________条件.解析:当x2=3x+4时,x=-1或4,当x=-1时,x=3x+4不成立,即pq.当x=3x+4时,x≥0,3x+4≥0,则x2=3x+4,即q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.答案:必要不充分(1)(2019·浙江重点中学模拟)已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定四种命题的相互关系及真假判断(2)(2019·温州模拟)命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是()A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0【解析】(1)命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题,故选B.(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.【答案】(1)B(2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写.②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.[提醒]四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.(2)判断命题真假的2种方法①直接判断:判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.②间接判断:当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.1.命题“若a2b2,则ab”的否命题是()A.若a2b2,则a≤bB.若a2≤b2,则a≤bC.若a≤b,则a2b2D.若a≤b,则a2≤b2解析:选B.根据命题的否命题若“¬p,则¬q”知选B.2.下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若1x>1,则x>1”的逆否命题解析:选B.对于A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故为假命题;对于B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知为真命题;对于C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故为假命题;对于D,命题“若1x>1,则x>1”的逆否命题为“若x≤1,则1x≤1”,易知为假命题,故选B.(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面.主要命题角度有:(1)判断指定条件与结论之间的关系;(2)与命题的真假性相交汇命题.充分条件、必要条件的判断角度一判断指定条件与结论之间的关系(1)(2018·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2017·高考浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】(1)若m⊄α,n⊂α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m⊄α,n⊂α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.(2)因为{an}为等差数列,所以S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d0⇔S4+S62S5,故选C.【答案】(1)A(2)C角度二与命题的真假性相交汇命题(2019·黄冈中学月考)下列有关命题的说法正确的是()A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件B.p:A∩B=A;q:AB,则p是q的充分不必要条件C.已知数列{an},若p:对于任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上;q:{an}为等差数列,则p是q的充要条件D.“x0”是“ln(1+x)0”的必要不充分条件【解析】选项A:当x=-1时,x2-5x-6=0,所以x=-1是x2-5x-6=0的充分条件,故A错.选项B:因为A∩B=AAB(如A=B),而AB⇒A∩B=A,从而pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件,故B错.选项C:因为Pn(n,an)在直线y=2x+1上.所以an=2n+1(n∈N*),则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2,又由n的任意性可知数列{an}是以公差为2的等差数列,即p⇒q.但反之则不成立,如:令an=n,则{an}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而qp.从而可知p是q的充分而不必要条件,故C错.选项D:利用充分条件和必要条件的概念判断.因为ln(x+1)0⇔0x+11⇔-1x0,所以“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件.故D正确.【答案】D判断充分、必要条件时应关注的三点(1)要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.(2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化:¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件;¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件.(2019·杭州市富阳二中高三开学检测)若a,b为实数,则“3a3b”是“1|a|1|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选D.根据题意,若“3a3b”,则有ab,而“1|a|1|b|”不一定成立,如a=-3,b=1;若“1|a|1|b|”,则有|a||b|,“3a3b”不一定成立,如a=1,b=-3,故“3a3b”是“1|a|1|b|”的既不充分也不必要条件.(1)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件充分性和必要性的证明(2)设x∈R,则“x-1212”是“x31”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】(1)a,b,c,d是非零实数,若ad=bc,则ba=dc,此时a,b,c,d不一定成等比数列;反之,若a,b,c,d成等比数列,则ab=cd,所以ad=bc,所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件,故选B.(2)由x-1212,得0x1,所以0x31;由x31,得x1,不能推出0x1.所以“x-1212”是“x31”的充分而不必要条件.故选A.(3)a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.【答案】(1)B(2)A(3)D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法:利用A⇒B与¬B⇒¬A,B⇒A与¬A⇒¬B,A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.[提醒]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么.(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.1.(2019·丽水模拟)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,则“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C.在锐角△ABC中,根据正弦定理asinA=bsinB,知sinA>sinB⇔a>b⇔A>B,而正切函数y=tanx在0,π2上单调递增,所以A>B⇔tanA>tanB.故选C.2.(2018·高考北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C.因为|a-3b|=|3a+b|,所以(a-3b)2=(3a+b)2,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b;反之也成立.故选C.(1)已知p:|x+1|>2,q:x>a,且¬p是¬q的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.a≤1B.a≤-3C.a≥-1D.a≥1(2)若a<x<a+2是x>3的充分不必要条件,则实数a的取值范围为________.充分条件、必要条件的应用【解析】(1)由|x+1|>2,解得x>1或x<-3,因为¬p是¬q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,从而可得(a,+∞)是(-∞,-3)∪(1,+∞)的真子集,所以a≥1,故选D.(2)因为“a<x<a+2”是“x>3”的充分不必要条件,所以{x|a<x<a+2}{x|x>3},所以a≥3,故答案为[3,+∞).【答案】(1)D(2)[3,+∞)利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合
本文标题:(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件
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