（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

第五章平面向量、复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________．(2)基底：_______的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线λ1e1＋λ2e2不共线2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________________，a－b＝___________________，λa＝_____________，|a|＝____________．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝___________________，|AB→|＝_______________________________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)（x2－x1）2＋（y2－y1）23．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔______________．[提醒]当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．x1y2－x2y1＝0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()××××√(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，则向量3a＋b等于()A．(－2，6)B．(－2，－6)C．(2，6)D．(2，－6)解析：选A.3a＋b＝3(－1，2)＋(1，0)＝(3×(－1)＋1，3×2＋0)＝(－2，6)，故选A.(2019·金华模拟)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1解析：选D.选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0，无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则1＝λ，－2＝2λ，无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则1＝λ，1＝－λ，无解；选项D，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．(2017·高考山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________．解析：因为a∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3.答案：－3在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．解析：因为AN→＝3NC→，所以AN→＝34AC→＝34(a＋b)，又因为AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b(1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足AE→＝2EC→，BF→＝3FD→，则EF→＝________(用AB→，AD→表示)．(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则实数t的值为________．平面向量基本定理及其应用【解析】(1)如图所示，AE→＝23AC→＝23(AB→＋AD→)，BF→＝34BD→＝34(AD→－AB→)，所以EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－23(AB→＋AD→)＋AB→＋34(AD→－AB→)＝－512AB→＋112AD→.(2)因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，所以2AP→＝PB→.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设AM→＝λAQ→.所以CM→＝AM→－AC→＝λAQ→－AC→＝λ12AB→＋12AC→－AC→＝λ2AB→＋λ－22AC→，又CM→＝tCP→＝t(AP→－AC→)＝t13AB→－AC→＝t3AB→－tAC→.故λ2＝t3，λ－22＝－t，解得t＝34，λ＝12.故t的值是34.【答案】(1)－512AB→＋112AD→(2)341．在本例(2)中，试用向量AB→，AC→表示CP→.解：因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，2AP→＝PB→，所以AP→＝13AB→，CP→＝AP→－AC→＝13AB→－AC→.2．在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析CM→＝λ2AB→＋λ－22AC→及λ＝12，CB→＝2CQ→知，CM→＝12λ(CB→－CA→)＋2－λ2CA→＝λ2CB→＋(1－λ)CA→＝λCQ→＋(1－λ)CA→＝CQ→＋CA→2.因此点M是AQ的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2019·温州七校联考)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°.若向量AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A．2a－1＋22bB．－2a＋1＋22bC．－2a＋1－22bD．2a＋1－22b解析：选B.根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形．由CD＝1，得CE＝ED＝22，则A(1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D22，1＋22，所以AB→＝(－1，0)，AC→＝(－1，1)，AD→＝22－1，1＋22.令AD→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，则有－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得λ＝－2，μ＝1＋22，则AD→＝－2a＋1＋22b，故选B.2．在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若EF→＝mAB→＋nAD→(m，n∈R)，则mn的值是________．解析：法一：根据题意可知△AFE∽△CFB，所以EFFB＝AECB＝12，故EF→＝12FB→＝13EB→＝13(AB→－AE→)＝13AB→－12AD→＝13AB→－16AD→，所以mn＝13－16＝－2.法二：如图，AD→＝2AE→，EF→＝mAB→＋nAD→，所以AF→＝AE→＋EF→＝mAB→＋(2n＋1)AE→，因为F，E，B三点共线，所以m＋2n＋1＝1，所以mn＝－2.答案：－2已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．平面向量的坐标运算【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN→＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．1．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC→等于()A．(－2，7)B．(－6，21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析：选B.BC→＝3PC→＝3(2PQ→－PA→)＝6PQ→－3PA→＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．2.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→＝λAM→＋μBN→，则λ＋μ＝________.解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM→＝1，12，BN→＝－12，1，AC→＝(1，1).因为AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－12μ，λ2＋μ，所以λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.法二：由AM→＝AB→＋12AD→，BN→＝－12AB→＋AD→，得AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－μ2AB→＋λ2＋μAD→，又AC→＝AB→＋AD→，所以λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案：85(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题.主要命题角度有：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线求向量坐标；(3)三点共线问题.平面向量共线的坐标表示角度一利用两向量共线求参数(2019·浙江省名校联考)已知向量a＝(m，1)，b＝(1－n，1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则1m＋2n的最小值是()A．22B．32C．32＋2D．22＋3【解析】已知a＝(m，1)，b＝(1－n，1)(其中m，n为正数)，若a∥b，则m－(1－n)＝0，即m＋n＝1.所以1m＋2n＝m＋nm＋2m＋2nn＝3＋nm＋2mn≥3＋2nm·2mn＝3＋22，当且仅当nm＝2mn时取等号，故1m＋2n的最小值是3＋22，故选D.【答案】D角度二利用两向量共线求向量坐标已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC→|＝2|AC→|，则向量OB→的坐标是________.【解析】由点C是线段AB上一点，|BC→|＝2|AC→|，得BC→＝－2AC→.设点B(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即2－x＝－2，3－y＝－4，解得x＝4，y＝7.所以向量OB→的坐标是(4，7).【答案】(4，7)角度三三点共线问题已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B．43C．12D．13【解析】AB→＝OB→－OA→＝(