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第四章三角函数、解三角形第7讲正弦定理与余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝___________________；b2＝___________________；c2＝___________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝__________，b＝__________，c＝__________；sinA＝___，sinB＝___，sinC＝___；a∶b∶c＝__________________________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝_________；cosB＝_________；cosC＝__________2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝____________＝12absinC；(3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c)．12acsinB判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinAsinB的充分不必要条件是AB.()√√×(4)在△ABC中，a2＋b2c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．()(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．()√×(2019·温州市十校联合体期初)在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b等于()A．52B．102C．1063D．56解析：选D.因为△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，所以由正弦定理asinA＝bsinB，得10sin45°＝bsin60°，解之可得b＝10sin60°sin45°＝56.(教材习题改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.cosB＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cosB＝45，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．解析：依题意可得sinB＝35，又S△ABC＝12acsinB＝42，则c＝14.答案：14(2018·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.解析：因为a＝7，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sinB＝bsinAa＝2×327＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.答案：2173(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)由已知求边和角；(2)三角恒等变换与解三角形．利用正弦、余弦定理解三角形角度一由已知求边和角(1)(2019·金华市东阳二中高三调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA＝ccosA＋acosC，则tanA的值是()A．－22B．－2C．22D．2(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________．【解析】(1)因为△ABC中，由余弦定理得ccosA＋acosC＝c×b2＋c2－a22bc＋a×a2＋b2－c22ab＝b.所以根据题意，3bcosA＝ccosA＋acosC＝b，两边约去b，得3cosA＝1，所以cosA＝130，所以A为锐角，且sinA＝1－cos2A＝223，因此，tanA＝sinAcosA＝22.(2)因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝45，cosC＝513，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.又a＝1，所以由正弦定理得b＝asinBsinA＝sinBsinA＝6365×53＝2113.【答案】(1)C(2)2113角度二三角恒等变换与解三角形在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝23，求cosC的值．【解】(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由cosB＝23得sinB＝53，cos2B＝2cos2B－1＝－19，故cosA＝－19，sinA＝459，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝2227.本例条件不变，若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．解：由S＝a24，得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB，又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.(1)正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A．π12B．π6C．π4D．π3解析：选B.因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝3π4，由正弦定理得sinC＝c·sinAa＝2×222＝12，又0Cπ4，所以C＝π6.故选B.2．(2019·绍兴市一中高三期末检测)△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2，tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝________．解析：由正弦定理可知sin∠CADsin∠BAD＝2，又tan∠CAD＝sin∠BAC，则sin∠CADcos∠CAD＝sin(∠CAD＋∠BAD)，利用三角恒等变形可化为cos∠BAC＝12，据余弦定理BC＝AC2＋AB2－2·AC·AB·cos∠BAC＝1＋4－2＝3.答案：3(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【解析】(1)由正弦定理得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝π2.即△ABC为直角三角形．(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为a2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°C180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形．【答案】(1)A(2)D判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选A.已知cb＜cosA，由正弦定理，得sinCsinB＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．2．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinB＋bsinA＝2c，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：选C.因为asinB＋bsinA＝2c，所以由正弦定理可得sinAsinB＋sinBsinA＝2sinC，而sinAsinB＋sinBsinA≥2sinAsinB·sinBsinA＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号，所以2sinC≥2，即sinC≥1.又sinC≤1，故可得sinC＝1，所以∠C＝90°.又因为sinA＝sinB，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.(高频考点)求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．与三角形面积有关的问题角度一求三角形的面积(1)(2019·台州市高考模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－3c＝2acosC，sinC＝32，则△ABC的面积为()A．32B．34C．32或34D．3或32(2)(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．【解析】(1)因为2b－3c＝2acosC，所以由正弦定理可得2sinB－3sinC＝2sinAcosC，所以2sin(A＋C)－3sinC＝2sinAcosC，所以2cosAsinC＝3sinC，所以cosA＝32，所以A＝30°，因为sinC＝32，所以C＝60°或120°.A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，所以△ABC的面积为12×1×2×32＝32，A＝30