（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 函数y＝Asin（ωx

第四章三角函数、解三角形第6讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝___f＝1T＝ω2π______φ2πωωx＋φ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图象变换的两种方法(ω0)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.()(2)将y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到y＝sin2x－π3的图象．()(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()×××(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋π2(k∈Z)．()√×(2016·高考浙江卷)函数y＝sinx2的图象是()解析：选D.由于函数y＝sinx2是一个偶函数，选项A、C的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B与选项D的图象都关于y轴对称，在选项B中，当x＝±π2时，函数y＝sinx21，显然不正确，当x＝±π2时，y＝sinx2＝1，而π2π2，故选D.(2019·金华市东阳二中高三调研)为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移5π12个单位长度B．向右平移5π12个单位长度C．向左平移5π6个单位长度D．向右平移5π6个单位长度解析：选A.因为y＝cos2x＋π3＝sin2x＋5π6＝sin2x＋5π12.只需将函数y＝sin2x的图象向左平移5π12个单位长度即得到函数y＝cos2x＋π3的图象．故选A.已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．解析：由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)＋1，所以A＝2，b＝1.答案：21已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T4＝2π3－π3＝π3，即T＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32(1)要得到函数y＝sin2x－π6的图象，只需将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移2π9个单位B．向左平移2π9个单位C．向右平移π3个单位D．向左平移π3个单位五点法作图及图象变换(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－π2φπ2)的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.①求f(x)的解析式；②作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．【解】(1)选C.因为y＝sin2x－π6＝cos[π2－(2x－π6)]＝cos2π3－2x＝cos2x－2π3＝cos[2(x－π3)]，将函数y＝cos2x的图象向右平移π3个单位长度，可以得到y＝cos2x－π3的图象，即y＝sin(2x－π6)的图象，故选C.(2)①因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝π6时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.②因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6，列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种作法①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．②图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．③由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω而不是|φ|.1．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)函数y＝sin2x＋π3的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点－π12，0中心对称()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向右平移π6个单位长度解析：选B.假设将函数y＝sin2x＋π3的图象平移ρ个单位长度得到y＝sin2x＋2ρ＋π3关于点－π12，0中心对称，所以将x＝－π12代入得到sin－π6＋2ρ＋π3＝sinπ6＋2ρ＝0，所以π6＋2ρ＝kπ，k∈Z，所以ρ＝－π12＋kπ2，当k＝0时，ρ＝－π12.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：选D.易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2，故选D.(1)(2019·温州市十校联合体期初)函数y＝f(x)在区间－π2，π上的简图如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝sin2x＋π3B．f(x)＝sin2x－2π3C．f(x)＝sinx＋π3D．f(x)＝sinx－2π3由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的图象的一部分如图所示，则f(x)的表达式为________．【解析】(1)由图象知A＝1，因为T2＝π3－－π6＝π2，所以T＝π，所以ω＝2，所以函数的解析式是y＝sin(2x＋φ)，因为函数的图象过点π3，0，所以0＝sin2×π3＋φ，所以φ＝kπ－2π3，k∈Z，所以当k＝0时，φ＝－2π3，所以函数的解析式是y＝sin2x－2π3，故选B.(2)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝－1，则A＝3－（－1）2＝2，b＝3－12＝1，又T＝223π－π6＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，将x＝π6，y＝3代入上式，得sinπ3＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π6＋2kπ，k∈Z，因为|φ|π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6＋1.【答案】(1)B(2)f(x)＝2sin2x＋π6＋1确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)．1.(2019·宁波市高考模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3解析：选A.由图可得34T＝5π12－－π3＝3π4，所以T＝π，所以T＝2πω＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，又f(x)的图象经过点5π12，2，所以f5π12＝2sin5π6＋φ＝2，所以sin5π6＋φ＝1，所以5π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－π3＋2kπ(k∈Z)，又－π2φπ2，所以φ＝－π3.2．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)＝sinωx＋π3(x∈R，ω＞0)的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|＝13.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，2]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的最大值．解：(1)过P作x轴的垂线PM，过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|＝2，|PQ|＝13，由勾股定理得|QM|＝3，所以T＝6，又T＝2πω，所以ω＝π3，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sinπ3x＋π3.(2)将函数y＝f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝sinπ3x.函数h(x)＝f(x)·g(x)＝sinπ3x＋π3sinπ3x＝12sin2π3x＋32sinπ3xcosπ3x＝141－cos2π3x＋34sin2π3x＝12sin2π3x－π6＋14.当x∈[0，2]时，2π3x－π6∈－π6，7π6，所以当2π3x－π6＝π2，即x＝1时，h(x)max＝34.(高频考点)三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)图象变换与函数性质；(2)恒等变换与函数性质；(3)三角函数图象与性质；(4)三角函数性质与平面向量；(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．三角函数图象与性质的综合应用角度一图象变换与函数性质将函数f(x)＝cos2x－sin2x的图象向左平移π8个单位后得到函数F(x)的图象，则下列说法中正确的是()A．函数F(x)是奇函数，最小值是－2B．函数F(x)是偶函数，最小值是－2C．函数F(x)是奇函数，最小值是－2D．函数F(x)是偶函数，最小值是－2【解析】f(x)＝cos2x－sin2x＝2cos2x＋π4，将f(x)的图象向左平移π8个单位后得F(x)的图象，则F(x)＝2cos2x＋π8＋π4＝2cos2x＋π2＝－2sin2x，所以F(x)是奇函