（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦

第四章三角函数、解三角形第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝___________________________；cos(α∓β)＝___________________________；tan(α±β)＝______________________________α±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝__________________；cos2α＝_____________＝__________＝__________；tan2α＝2tanα1－tan2αα，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α[三角函数公式的变形](1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.3．三角函数公式关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()(3)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(5)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()√×××√(教材习题改编)已知cosα＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)为()A．210B．－210C．7210D．－7210解析：选A.因为cosα＝－35，α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－（－35）2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝22·(－35)－22·(－45)＝210.(2019·温州市十校联合体期初)已知tan(α＋β)＝3，tanβ＝2，则tanα等于()A．－3B．3C．－17D．17解析：选D.tan(α＋β)＝3，tanβ＝2，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，所以tanα＋21－2tanα＝3，解得tanα＝17.sin15°＋sin75°的值是________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.答案：62(2017·高考全国卷Ⅰ)则α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________．解析：因为α∈0，π2，且tanα＝sinαcosα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝255，cosα＝55，则cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55×22＋255×22＝31010.答案：31010(1)已知α∈π2，π，sinα＝513，则tanα＋π4＝()A．－717B．177C．717D．－177(2)(2019·杭州中学高三月考)已知α∈π6，π2，且sinα－π6＝13，则sinα＝______，cosα＋π3＝______．三角函数公式的直接应用【解析】(1)因为α∈π2，π，所以cosα＝－1213，所以tanα＝－512，所以tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－512＋11＋512＝717.(2)因为α∈π6，π2，所以0α－π6π3，所以cosα－π6＝1－19＝223，所以sinα＝sinα－π6＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝13×32＋223×12＝3＋226，cosα＋π3＝cosα－π6＋π2＝－sinα－π6＝－13.【答案】(1)C(2)3＋226－13利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．(2019·温州七校联考)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π3的值为()A．1225B．2425C．－2425D．－1225解析：选B.因为α为锐角，cosα＋π6＝450，所以α＋π6为锐角，sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，故选B.(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．主要命题角度有：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；(2)二倍角公式的活用．三角函数公式的活用角度一两角和与差公式的逆用及变形应用(1)已知sinα＋cosα＝13，则sin2(π4－α)＝()A．118B．1718C．89D．29(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B．22C．12D．－12【解析】(1)由sinα＋cosα＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin2(π4－α)＝1－cos（π2－2α）2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.【答案】(1)B(2)B角度二二倍角公式的活用cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝________．【解析】法一：原式＝1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan30°＝33.法二：原式＝2（sin45°cos15°－cos45°sin15°）2（sin45°cos15°＋cos45°sin15°）＝sin30°sin60°＝1232＝33.法三：因为cos15°－sin15°cos15°＋sin15°2＝1－sin30°1＋sin30°＝13.又cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＞0，所以cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝33.【答案】33三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．1．化简tanα＋1tanα·12sin2α－2cos2α＝()A．cos2αB．sin2αC．cos2αD．－cos2α解析：选D.原式＝sinαcosα＋cosαsinα·sinαcosα－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos2α.2．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．解析：－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，所以tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.所以1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.答案：2(1)(2019·金华十校联考)已知sin2α＝35(π2＜2α＜π)，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于()A．－2B．－1C．－211D．211角的变换(2)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.①求sin(α＋π)的值；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．【解】(1)选A.因为sin2α＝35，2α∈π2，π，所以cos2α＝－45，tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan（α－β）1＋tan2αtan（α－β）＝－2.(2)①由角α的终边过点P－35，－45得sinα＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.②由角α的终边过点P－35，－45得cosα＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．1．已知tan(α＋β)＝1，tanα－π3＝13，则tanβ＋π3的值为()A．23B．12C．34D．45解析：选B.tanβ＋π3＝tan（α＋β）－α－π3＝tan（α＋β）－tanα－π31＋tan（α＋β）tanα－π3＝1－131＋1×13＝12.2．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A．7π4B．9π4C．5π4或7π4D．5π4或9π4解析：选A.因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈π2，π，α∈π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈π，3π2，故β－α∈π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22，且α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4.掌握两角差余弦公式的推导过程如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则OA→＝(cosα，sinα)，OB→＝(cosβ，sinβ)．由向量数量积的坐标表示，有OA→·OB→＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.设OA→与OB→的夹角为θ，则OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|cosθ＝cosθ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.另一方面，由图(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2kπ＋β－θ.于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z.所以cos(α－β)＝cosθ.即cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.运用三角函数公式时，不但