（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 第8讲 离散型随机变量的均值与

第十章计数原理与古典概率第8讲离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝_______________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_________．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平(2)D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均_____程度，其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质（1）E（aX＋b）＝_____________（2）D（aX＋b）＝_________(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)p(p为成功概率)___D(X)_____________________偏离aE（X）＋ba2D（X）npp(1－p)np(1－p)已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A．32B．2C．52D．3解析：选A.E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32，故选A.随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝300，D(ξ)＝200，则p等于()A．23B．13C．1D．0解析：选B.因为随机变量ξ服从二项分布，所以E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)，则np＝300np（1－p）＝200，解得p＝13.已知随机变量X的分布列为X－101P1213a且设Y＝2X＋3，则Y的均值是________．解析：由分布列性质有12＋13＋a＝1，即a＝16；E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，所以E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝3－23＝73.答案：73(2019·温州市普通高中模考)盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个小球，记摸到黑球的个数为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________．解析：P(X＝2)＝C23C15C38＝1556，P(X＝0)＝C35C38＝1056，P(X＝1)＝C13C25C38＝3056，P(X＝3)＝C33C38＝156，所以E(X)＝0×1056＋1×3056＋2×1556＋3×156＝98.答案：155698(高频考点)离散型随机变量的均值、方差的求解，比较大小，求实际问题中的均值、方差是浙江新高考的热点．主要命题角度有：(1)直接求均值、方差；(2)两个随机变量的均值、方差大小比较；(3)实际问题中的均值、方差的求解．离散型随机变量的均值、方差的求解角度一直接求均值、方差(1)(2019·温州模拟)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6和0.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6(2)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝____________．【解析】(1)由已知，随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.因此，E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，故选B.(2)设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得a＝35，b＝15，所以D(ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.【答案】(1)B(2)25角度二两个随机变量的均值、方差大小比较(2017·高考浙江卷)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜12，则()A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)【解析】根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因为0p1p212，所以E(ξ1)E(ξ2)．令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在0，12上单调递增，所以f(p1)f(p2)，即D(ξ1)D(ξ2)，故选A.【答案】A角度三实际问题中的均值、方差的求解(2019·台州市书生中学高三质检)公园游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色之外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率，②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．【解】(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0，1，2，3)，则P(A3)＝C23C25·C12C23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝C23C25·C22C23＋C13C12C25·C12C23＝12，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝1－7102＝9100；P(X＝1)＝C127101－710＝2150；P(X＝2)＝7102＝49100.所以X的分布列为X012P9100215049100所以E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．1．(2019·宁波市高考模拟)随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝15，E(X)＝1，则D(X)＝()A．15B．25C．55D．105解析：选B.设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，因为E(X)＝0×15＋p＋2q＝1①，又15＋p＋q＝1，②由①②得，p＝35，q＝15，所以D(X)＝15(0－1)2＋35(1－1)2＋15(2－1)2＝25，故选B.2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析：记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1000，0.1)，所以E(Y)＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案：200本考点属于均值、方差的简单应用．主要命题角度有：(1)已知均值、方差求参数；(2)已知均值、方差求最值问题．均值、方差的应用(高频考点)角度一已知均值、方差求参数(1)(2019·杭州高三质检)体育课的排球发球项目的考试规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为m(m≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则m的取值范围是()A．0，712B．712，1C．0，12D．12，1(2)(2019·台州市书生中学高三期中)若X是离散型随机变量，P(X＝a)＝23，P(X＝b)＝13，且a＜b，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则a＋b的值为()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)X的可能取值为1，2，3，因为P(X＝1)＝m，P(X＝2)＝(1－m)m，P(X＝3)＝(1－m)2，所以E(X)＝m＋2m(1－m)＋3(1－m)2＝m2－3m＋3，由E(X)＞1.75，即m2－3m＋3＞1.75，解得m＜12或m＞52(舍去)，所以0＜m＜12.(2)由E(X)＝43，D(X)＝29得23a＋13b＝4323a－432＋13b－432＝29，解方程组可得a＋b＝3.【答案】(1)C(2)C角度二已知均值、方差求最值问题(1)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记，该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，即未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0，1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当10a＋19b取最小值时，c的值为()A．111B．211C．511D．0(2)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3①在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；②将x(0≤x≤100)万元投资项目A，100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．【解】(1)选A.由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环得10a＋9b＝9，所以10a＋19b＝10a＋19b10a9＋b＝1019＋10ba＋a81b，当且仅当ba＝a81b，即a＝9b时，10a＋19b取得最小值，解得a＝911，b＝111，此时c＝1－a－b＝1－911－111＝111.(2)①由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.②由题意，得f(x)＝Dx100Y1＋D100－x100Y2＝x1002D(Y1)＋100－x1002D(Y2)＝41002[x2＋3(100－x)2]＝12500(4x2－600x＋30000)＝12500[4(x－75)2＋7500]．所以当x＝75时，f(x)取得最小值3.(1)已知均值、方差求参数的思路依据均值、方差的计算公式列方程(方程组)或不等式，将其转化为代数问题求解．(2)已知均值(方差)求最值问题的一般思路①构造函数求最值．②构造基本不等式求最值．1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))．已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A．16B．112C．124D．148解析：选A.由题意知该运动员投篮一次得分的数学期望为E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥26ab，所以26ab≤2，即ab≤16.2．(2019·嘉兴市高考模拟)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pba212－a2则E(ξ)的最小值为________，此时b＝________．解析：由题意可得：b＋a2＋12－a2＝1，即b＋a2－a2＝12，b∈[0，1]，a∈[－1，1]．E(ξ)＝0＋a2＋2(12－a2)＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34，当且仅当a＝12时取等号，此时b＝12.答案：3412(2019·浙江省名校协作体高三联考)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)求考生甲正确完成题目个数X的分布列和数学期望；(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？均值与方差的实际应用【解】(1)由题意知X的可能取