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第十章计数原理与古典概率第5讲古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是_____的．(2)任何事件都可以表示成_________的和(除不可能事件)．2．古典概型(1)特点①试验中所有可能出现的基本事件只有_____个，即_______．②每个基本事件发生的可能性_____，即_________．(2)概率公式P(A)＝_____________________________．互斥基本事件有限有限性相等等可能性A包含的基本事件的个数基本事件的总数集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A．23B．12C．13D．16解析：选C.从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P＝26＝13.(2019·丽水模拟)已知a∈{－2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数的概率是()A．25B．35C．12D．310解析：选B.因为f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数，所以a2－2＞0，又a∈{－2，0，1，3，4}，所以a∈{－2，3，4}，又b∈{1，2}，所以函数f(x)为增函数的概率是35，故选B.将一枚硬币连掷5次，则至少出现一次正面向上的概率为________．解析：因为将一枚硬币连掷5次，没有出现正面向上的概率为125，所以至少出现一次正面向上的概率为1－125＝3132.答案：3132在集合x|x＝nπ6，n＝1，2，3，…，10中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cosx＝12的概率是________．解析：基本事件总数为10，满足方程cosx＝12的基本事件数为2，故所求概率为P＝210＝15.答案：15(高频考点)求古典概型的概率问题是高考考查的热点．主要命题角度有：(1)直接列举法；(2)图表、树型法；(3)逆向思维法；(4)对称性法．求古典概型的概率角度一直接列举法袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率．(1)取出的两球都是白球；(2)取出的两球一个是白球，另一个是红球．【解】设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．所以取出的两个球全是白球的概率为P＝615＝25；(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8个．所以取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P＝815.角度二图表、树型法一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出2个黑球的概率为____________．【解析】如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果．U的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果．因此，摸出2个黑球的概率是P＝36＝12.【答案】12角度三逆向思维法同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率为____________．【解析】至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P＝1636＝49.至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59.【答案】59角度四对称性法有A，B，C，D，E共5人站成一排，则A在B的右边(A，B可以不相邻)的概率为____________．【解析】由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是12.【答案】12(1)(2)求较复杂事件的概率问题的方法①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．②先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．1．(2017·高考山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A．518B．49C．59D．79解析：选C.所求概率为P＝C12C15C14C19C18＝59.2．(2019·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为()A．1720B．710C．58D．45解析：选B.由题设取三个球的所有可能有n＝C36＝6×5×43×2×1＝20，其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)共6种，其概率P＝620＝310，所以3个球编号之和大于7的概率为P′＝1－310＝710.3．(2019·温州八校联考)依次从标号为1，2，3，4，5的五个黑球和标号为6，7，8，9的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x，y)表示事件“抽到两个球标号分别为x，y”．(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率．解：(1)共有20个基本事件，列举如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，共20个．(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A，由(1)可知事件A共含有7个基本事件，列举如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共7个．“抽取的标号之和大于12”记作事件B，则事件B包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3个．故P(A)＋P(B)＝720＋320＝12，故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概率为12.(高频考点)近几年高考对交汇型古典概型问题有所侧重．主要命题角度有：(1)与平面向量的交汇；(2)与函数(方程)的交汇；(3)与解析几何的交汇．古典概型与其他知识的交汇角度一与平面向量的交汇从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为()A．16B．13C．14D．12【解析】由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3，3)，(5，5)共2个，故所求的概率为16.【答案】A角度二与函数(方程)的交汇已知|p|≤3，|q|≤3，当p，q∈Z，则方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率是________．【解析】由方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，可得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)0，即p2＋q21.当p，q∈Z时，设点M(p，q)，如图，直线p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直线q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M(p，q)落在圆p2＋q2＝1外时，方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率P＝49－549＝4449.【答案】4449角度三与解析几何的交汇甲、乙两颗质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1，2，3，4，5，6，现将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示掷甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数．(1)若“点M(a，b)落在直线x＋y＝6上的事件”记为A，求事件A的概率；(2)若“点M(a，b)落在圆x2＋y2＝25内部的事件”记为B，求事件B的概率．【解】(1)先后抛掷甲、乙两颗骰子所得的点M(a，b)共有36个，其中落在直线x＋y＝6上的点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个点，所以P(A)＝536.(2)同(1)，落在圆x2＋y2＝25的内部的点共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，共13个点，所以P(B)＝1336.求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝12ax2＋bx＋1.(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．解：(1)由题意－b2×12a≥－1，即b≤a.而(a，b)共有C12·C12＝4种，满足b≤a的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为16.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝137144的内部，则实数m的取值范围是()A．－518，＋∞B．－∞，718C．－718，518D．－518，718古典概型概率的应用【解析】对于a与b各有6种情形，故总数为36种．两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝236＝118，两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝3336＝1112，因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝137144的内部，所以118－m2＋11122＜137144，解得－518＜m＜718，故选D.【答案】D概率问题主要体现必然与或然思想，在生活、生产中有着广泛的应用．在高考中常以生产、生活中的决策与判断、求参数的范围等问题呈现，多具有开放性特点．甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金．比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14.因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元．古典概型中基本事件的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基