（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式核心素养提升（七）课件

第七章不等式核心素养提升(七)一、线性规划问题中的典例赏析众所周知，线性规划问题是指在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值与最小值问题，然而随着数学教育教学的不断发展，在线性约束条件下求目标函数(不一定是线性的)的最值问题或其他问题成为了高考的热点，解决此类问题稍不注意就会出现错误，在这里，我们以必修5第91页练习T1(2)为例，说说线性规划问题中的高考热点问题．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使x，y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3.【解】线性约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．当直线3x＋5y＝z过点A时，z取得最大值，过点B时，z取得最小值，由y＝x＋1，5x＋3y＝15，解得A32，52，由y＝x＋1，x－5y＝3，解得B(－2，－1)；所以zmax＝3×32＋5×52＝17，zmin＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11.问题与解答渗透了数形结合、转化与化归思想，利用了直线在x轴(或y轴)上的截距的最值问题，求解目标函数的最值问题，堪称数学问题中的重要思想和方法．根据问题和解答展示，欣赏下列问题．若将原题以选择题或填空题的形式出现，即若x，y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3，则z＝3x＋5y的最大值为()A．－11B．9C．15D．17虽然按照原问题解析过程无疑选D答案，然而很多同学用了如下的解法：分别由5x＋3y＝15y＝x＋1，解得交点32，52；5x＋3y＝15，x－5y＝3，解得交点(3，0)；y＝x＋1，x－5y＝3，解得交点(－2，－1)．分别代入目标函数得z＝17，z＝9，z＝－11，故选D.得出了正确的答案(确实是正确的)．若线性约束条件变为5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≥3.(即将第三个二元一次不等式的不等号方向改变)，按照上述思路得出了zmax＝17这个答案就错误了，这正是同学们犯了“经验主义”错误，事实上zmax＝9，应选B.其解答过程如下：线性约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≥3表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．当直线3x＋5y＝z过点C时，z取得最大值，由5x＋3y＝15x－5y＝3，解得C(3，0)，所以zmax＝3×3＋5×0＝9，故选B.当然此时z＝3x＋5y没有最小值，也就是说，若四个选项为A．zmin＝－11，zmax＝9B．zmin＝－11，zmax＝17C．z无最小值，zmax＝9D．z无最小值，zmax＝17不慎重就得出选A的错误结论，事实上应选C.最优解指在线性约束条件表示的可行域中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解，根据这一概念，除原问题解决的最值外，有下列三类线性规划问题．(1)最优解问题设x，y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3，若z＝ax＋5y(a0)取得最大值时的最优解有无数多个，求a的值及此时z的最大值．【解】约束条件表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．因为a0，所以使z＝ax＋5y(a0)取得最大值的最优解有无数多个时，直线l：ax＋5y＝z与直线5x＋3y＝15重合，则a5＝53，z5＝5，所以a＝253，z＝25.即当a＝253时，z＝ax＋5y有无数个最优解(线段AC上的点都是最优解)，且zmax＝25.(2)整点问题设x，y满足约束条件5x＋3y≤15y≤x＋1x－5y≤3，求使z＝3x＋5y取得最大值时的最优整点，并求出此时的最大值．【解】线性约束条件表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．由原问题解析知，虽然z＝3x＋5y取最大值z＝17时的最优解为A32，52，但不是整点．直线l：3x＋5y＝z，即为y＝－35x＋z5.使截距z5最大的点，且使x，y均为整数的点是与A“紧相邻”的D点，其坐标为(1，2)，此时，zmax＝3×1＋5×2＝13.且l的方程为3x＋5y＝13与直线5x＋3y＝15的交点E94，54.在区域△ADE(含边界)无整点，故z＝3x＋5y取得最大值时的最优整点为(1，2)，且zmax＝13.(3)已知最值求参数问题设x，y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3，当a0，b0，z＝ax＋by取得最小值－2017时，求2a＋1b的最小值及此时a，b的值．【解】因为a0，b0，由原问题解析知，当直线l：ax＋by＝z经过点B(－2，－1)时，z取得最小值．即－2a－b＝－2017，所以2a＋b＝2017.因为2a＋1b(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba×2ab＝9，即20172a＋1b≥9，所以2a＋1b≥92017.当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝20173时，2a＋1b取得最小值92017.除线性目标函数是一次型外，常见的非线性目标函数有下列两种情况：①斜率型；②距离型．即斜率型k＝y－y0x－x0的最值，距离型d＝(x－x0)2＋(y－y0)2的最值．设x，y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3.(1)求z＝yx－4的范围；(2)求z＝x2＋y2＋2x－2y的最大值与最小值．【解】线性约束条件表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．(1)z＝yx－4表示可行域内的过点P(x，y)与点D(4，0)所在直线的斜率．由上文知A32，52，B(－2，－1)．kAD＝5232－4＝－1.kBD＝－1－2－4＝16.则－1≤z≤16，即z的范围为z∈－1，16.(2)z＝x2＋y2＋2x－2y＝(x＋1)2＋(y－1)2－2.其中d＝(x＋1)2＋(y－1)2表示可行域内的点P(x，y)与点E(－1，1)的距离的平方，由图知，当P(x，y)取C(3，0)时，dmax＝17，当P为E在直线y＝x＋1上的投影点时，d最小．dmin＝－122＝12.所以zmax＝dmax－2＝15.zmin＝dmin－2＝12－2＝－32.即z的最大值为15，最小值为－32.求解线性规划问题，就是按目标函数的特点，利用数形结合及其几何意义，寻求最优解的过程．因此准确画出线性约束条件下的可行域是正确解决线性规划问题的先决条件，其次迅速正确的计算能力和转化与化归能力是正确解决本类问题的关键．二、应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值．即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：加上一个数或减去一个数使和或积为定值函数f(x)＝4x－3＋x(x3)的最大值是()A．－4B．1C．5D．－1【解析】因为x3，所以3－x0，所以f(x)＝－43－x＋（3－x）＋3≤－243－x·（3－x）＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.【答案】D平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．若x0，y0，且2x2＋y23＝8，求x6＋2y2的最大值．[思路点拨]由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．【解】(x6＋2y2)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x21＋y23≤3·2x2＋1＋y2322＝3×922.当且仅当2x2＝1＋y23，即x＝32，y＝422时，等号成立．故x6＋2y2的最大值为923.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．已知a0，b0且a＋b＝2，求1a＋11b＋1的最小值．[思路点拨]由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．【解】由题得1a＋11b＋1＝1ab＋1a＋1b＋1＝1ab＋a＋bab＋1＝3ab＋1，因为a0，b0，a＋b＝2，所以2≥2ab，所以ab≤1，所以1ab≥1.所以1a＋11＋1b≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以1a＋11b＋1的最小值是4.变形后使用基本不等式设a1，b1，且ab－(a＋b)＝1，那么()A．a＋b有最小值2(2＋1)B．a＋b有最大值(2＋1)2C．ab有最大值2＋1D．ab有最小值2(2＋1)【解析】因为ab－(a＋b)＝1，ab≤a＋b22，所以a＋b22－(a＋b)≥1，它是关于a＋b的一元二次不等式，解得a＋b≥2(2＋1)或a＋b≤2(1－2)(舍去)．所以a＋b有最小值2(2＋1)．又因为ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2ab，所以ab－2ab≥1，它是关于ab的一元二次不等式．解得ab≥2＋1或ab≤1－2(舍去)，所以ab≥3＋22，即ab有最小值3＋22.【答案】A形如f（x）g（x）型函数变形后使用基本不等式若y＝f（x）g（x）中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x≠－1)的值域．[思路点拨]将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋Bx＋C的形式，然后运用基本不等式求解．【解】因为y＝（x＋5）（x＋2）x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝（x＋1）2＋5（x＋1）＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5，当x＋10，即x－1时y≥2（x＋1）·4x＋1＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)，当x＋10，即x－1时，y≤5－2（x＋1）·4x＋1＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．用“1”的代换法求最值已知1x＋2y＝1，且x0，y0，求x＋y的最小值．【解】法一：因为x0，y0，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·1x＋2y＝3＋yx＋2xy≥3＋2yx·2xy＝3＋22.当且仅当yx＝2xy，且1x＋2y＝1，即x＝2＋1，y＝2＋2时，上式等号成立．故x＋y的最小值是3＋22.法二：因为1x＋2y＝1，所以x＝yy－2.因为x0，y0，所以y－20.所以x＋y＝yy－2＋y＝y2－yy－2＝（y－2）2＋3（y－2）＋2y－2＝y－2＋2y－2＋3≥3＋22(当y－2＝2y－2，即y＝2＋2时取等号，此时x＝2＋1)．若a，b为常数，且0x1，求f(x)＝a2x＋b21－x的最小值．[思路点拨]根据待求式的特征及0x1知x0，1－x0，又1＝x＋(1－x)，因此可考虑利用“1”的代换法．【解】因为0x1，所以1－x0.所以a2x＋b21－x＝a2x·1＋b21－x·1＝a2x·[x＋(1－x)]＋b21－x·[x＋(1－x)]＝a2＋a2（1－x）x＋b2x1－x＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.上式当且仅当a2（1－x）x＝b2x1－x时，等号成立．所以a2x＋b21－x≥(a＋b)2.故函数f(x)的最小值为(a＋b)2.求以形如(或可化为)ax＋by＝1型为条件的cx＋dy(a，b，c，d都不为0)的最值问题可利用“1”的代换法求解．本题中的条件1x＋2y＝1也可化为2x＋y－xy＝0.代换减元求最值设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________．【解析】x2－3xy＋4y2－z＝0⇒z＝x2－3xy＋4y2，①所以zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1.等号成立的条件为x＝2y，代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，所以x＝2y，z＝2y2，所以x＋2y