(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式课件

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第七章不等式知识点考纲下载不等关系与不等式了解不等关系,掌握不等式的基本性质.一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,会解一元二次不等式.第七章不等式知识点考纲下载二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义,掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系,并会求解简单的二元线性规划问题.基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b>0)及其应用.第七章不等式知识点考纲下载绝对值不等式会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式.了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.第七章不等式第1讲不等关系与不等式1.实数大小顺序与运算性质之间的关系a-b0⇔_____;a-b=0⇔_____;a-b0⇔_____.2.不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒_____;(3)可加性:a>b⇒a+c___b+c;a>b,c>d⇒a+c___b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc,a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;aba=baba>c>>(5)可乘方:a>b>0⇒an___bn(n∈N,n≥1);(6)可开方:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n≥2).3.不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质①ab,ab0⇒1a___1b.②a0b⇒1a___1b.>③ab0,0cd⇒ac___bd.④0axb或axb0⇒1b___1x1a.(2)有关分数的性质若ab0,m0,则①bab+ma+m;bab-ma-m(b-m0).②aba+mb+m;aba-mb-m(b-m0).判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个实数a,b之间,有且只有ab,a=b,ab三种关系中的一种.()(2)若ab1,则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.()√××(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.()(5)同向不等式具有可加性和可乘性.()(6)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.()××√(教材习题改编)设A=(x-3)2,B=(x-2)·(x-4),则A与B的大小关系为()A.A≥BB.A>BC.A≤BD.A<B解析:选B.A-B=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,所以A>B.故选B.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C.a0,b0⇒a+b0,ab0.又当ab0时,a与b同号,由a+b0知a0,且b0.12-1________3+1(填“”或“”).解析:12-1=2+13+1.答案:下列不等式中恒成立的是__________.①m-3>m-5;②5-m>3-m;③5m>3m;④5+m>5-m.解析:m-3-m+5=2>0,故①恒成立;5-m-3+m=2>0,故②恒成立;5m-3m=2m,无法判断其符号,故③不恒成立;5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故④不恒成立.答案:①②某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.用不等式(组)表示不等关系【解】设甲、乙两种产品的月产量分别为x,y,则由题意可知x+2y≤400,2x+y≤500,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N.用不等式(组)表示不等关系(1)分析题中有哪些未知量.(2)选择其中起关键作用的未知量,设为x或x,y,再用x或x,y来表示其他未知量.(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组).[提醒]在列不等式(组)时要注意变量自身的范围.某汽车公司因发展需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则40x+90y≤1000,x≥5,y≥6,x,y∈N*.即4x+9y≤100,x≥5,y≥6,x,y∈N*.不等式的性质及其应用是高考命题的热点.不等式性质的应用是高考的常考点,常以选择题、填空题的形式出现.主要命题角度有:(1)判断命题的真假;(2)与充要条件相结合命题的判断;(3)求代数式的取值范围.不等式的性质及应用(高频考点)角度一判断命题的真假(1)设a,b,c∈R,且ab,则()A.acbcB.1a1bC.a2b2D.a3b3(2)下列命题中,正确的是()A.若ab,cd,则acbdB.若acbc,则abC.若ac2bc2,则abD.若ab,cd,则a-cb-d【解析】(1)A项,c≤0时,由ab不能得到acbc,故不正确;B项,当a0,b0(如a=1,b=-2)时,由ab不能得到1a1b,故不正确;C项,由a2-b2=(a+b)(a-b)及ab可知当a+b0时(如a=-2,b=-3或a=2,b=-3)均不能得到a2b2,故不正确;D项,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·a+b22+34b2,因为a+b22+34b20,所以可由ab知a3-b30,即a3b3,故正确.(2)A:取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;B:当c0时,acbc⇒ab,所以B错误;C:因为ac2bc2,所以c≠0,又c20,所以ab,C正确;D:取a=c=2,b=d=1,可知D错误,故选C.【答案】(1)D(2)C角度二与充要条件相结合命题的判断(1)设a,b∈R,则“(a-b)·a20”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设a,b∈R,则“ab”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】(1)(a-b)·a20,则必有a-b0,即ab;而ab时,不能推出(a-b)·a20,如a=0,b=1,所以“(a-b)·a20”是“ab”的充分不必要条件.(2)当b0时,显然有ab⇔a|a|b|b|;当b=0时,显然有ab⇔a|a|b|b|;当b0时,由ab有|a||b|,所以ab⇔a|a|b|b|.综上可知ab⇔a|a|b|b|,故选C.【答案】(1)A(2)C角度三求代数式的取值范围(2019·台州高三模拟)若α,β满足-1≤α+β≤1,1≤α+2β≤3,则α+3β的取值范围为________.【解析】设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.则x+y=1,x+2y=3,解得x=-1,y=2.因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,两式相加,得1≤α+3β≤7.所以α+3β的取值范围是[1,7].【答案】[1,7](1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式性质.②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.(2)充要条件的判断方法利用两命题间的关系,看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性质或特值求解.(3)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.1.(2019·河南百校联盟模拟)设a,b∈R,则“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C.当(a-b)a2≥0时,由a2≥0得a-b≥0,即a≥b,反之也成立,故“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的充要条件.2.已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则ba的取值范围是________.解析:因为b+c≤2a,c+a≤2b,c>a-b,c>b-a,所以问题等价于不等式组a-b<c,b-a<c,c≤2a-b,c≤2b-a有解,所以a-b<2a-b,a-b<2b-a,b-a<2a-b,b-a<2b-a⇒23<ba<32,即ba的取值范围是23,32.答案:23,32(1)设函数f(x)=x3+11+x,x∈[0,1].证明:f(x)≥1-x+x2.(2)若a=ln33,b=ln22,比较a与b的大小.比较两个数(式)的大小【解】(1)证明:因为1-x+x2-x3=1-(-x)41-(-x)=1-x41+x,由于x∈[0,1],有1-x41+x≤1x+1,即1-x+x2-x3≤1x+1,所以f(x)≥1-x+x2.(2)因为a=ln33>0,b=ln22>0,所以ab=ln33·2ln2=2ln33ln2=ln9ln8=log89>1,所以a>b.1.设m=(x+2)(x+3),n=2x2+5x+9,则m与n的大小关系为()A.mnB.mnC.m≥nD.m≤n解析:选B.m-n=x2+5x+6-(2x2+5x+9)=-x2-30,所以mn.故选B.2.比较a2b+b2a与a+b(a0,b0)两个代数式的大小.解:因为a2b+b2a-(a+b)=a3+b3-a2b-ab2ab=a2(a-b)+b2(b-a)ab=(a-b)(a2-b2)ab=(a-b)2(a+b)ab.又因为a0,b0,所以(a-b)2(a+b)ab≥0,故a2b+b2a≥a+b.真假分数的性质(1)真分数的分子与分母都加上同一个正数,分数的值变大.(2)假分数的分子分母都加上同一个正数,分数的值变小.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.易错防范(1)在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,bc⇒ac;(2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有ab⇒ac2bc2;若无c≠0这个条件,ab⇒ac2bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).

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