（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 第6讲 数学归纳法课件

第六章数列与数学归纳法第6讲数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．(2019·台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，等式左边是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n＝1时，等式的左边应为1＋a＋a2，故选C.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()A．2k＋2B．2k＋3C．2k＋1D．(2k＋2)＋(2k＋3)答案：D用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10解析：选B.据已知可转化为1×1－12n1－12＞12764，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为n＝8.观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析：由题目中所给的三组数据：5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，可以归纳出简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V＋F－E＝2，这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数间的特有规律．答案：V＋F－E＝2证明1＋12＋13＋14＋…＋12n－1n2(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，不等式左边增加的项数是________．解析：当n＝k时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k－1.当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1，增加了12k＋…＋12k＋1－1，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k(项)．答案：2k用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n（2n＋2）＝n4（n＋1）(n∈N*)．用数学归纳法证明等式【证明】(1)当n＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14×（1＋1）＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＝k4（k＋1），则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＋12（k＋1）[2（k＋1）＋2]＝k4（k＋1）＋14（k＋1）（k＋2）＝k（k＋2）＋14（k＋1）（k＋2）＝（k＋1）24（k＋1）（k＋2）＝k＋14（k＋2）＝k＋14（k＋1＋1）.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明恒等式的注意事项(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．(2019·温州七校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝1＋12＋13＋…＋1n，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，用数学归纳法证明Sn＝(n＋1)an－n.证明：当n＝1时，a1＝1，S1＝a1＝1，满足条件．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，Sk＝(k＋1)ak－k成立，则当n＝k＋1时，因为ak＝1＋12＋13＋…＋1k＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1－1k＋1＝ak＋1－1k＋1，所以Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(k＋1)ak－k＋ak＋1＝(k＋1)(ak＋1－1k＋1)－k＋ak＋1＝(k＋1)ak＋1－1－k＋ak＋1＝(k＋2)ak＋1－(1＋k)．从而Sn＝(n＋1)an－n成立．(2019·衢州模拟)在数列{an}中，已知a1＝a(a2)，且an＋1＝a2n2（an－1）(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：an2(n∈N*)；(2)求证an＋1an(n∈N*)．用数学归纳法证明不等式【证明】(1)①当n＝1时，a1＝a2，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即ak2.则当n＝k＋1时，ak＋1－2＝a2k2（ak－1）－2＝（ak－2）22（ak－1）0，所以当n＝k＋1时ak＋12也成立，由①②得，对任意正整数n，都有an2.(2)an＋1－an＝a2n2（an－1）－an＝an（2－an）2（an－1），由(1)可知an20，所以an＋1an.数学归纳法证明不等式的注意事项(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an≤2n－1对一切n∈N*恒成立．解：(1)由a2n＋1－a2n＝2得a2n＝2n－1，所以an＝2n－1.(2)证明：①当n＝1时，1＝1成立；当n＝2时，左边右边．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，1a1＋1a2＋1a3＋…＋1ak2k－1成立，那么当n＝k＋1时，1a1＋1a2＋1a3＋…＋1ak＋1ak＋12k－1＋12k＋12k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k＋1，不等式成立．由①②可得1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an≤2n－1对一切n∈N*恒成立．(2019·宁波效实中学高三期中)已知数列{an}，a1＝3，an＋1＝3an－4an－1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．归纳—猜想—证明【解】(1)因为a1＝3，且an＋1＝3an－4an－1，所以a2＝3×3－43－1＝52，a3＝3×52－452－1＝73，a4＝3×73－473－1＝94，由此猜想an＝2n＋1n.(2)证明：①当n＝1时，a1＝2×1＋11＝3，满足要求，猜想成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即ak＝2k＋1k，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝3ak－4ak－1＝3×2k＋1k－42k＋1k－1＝2k＋3k＋1＝2（k＋1）＋1k＋1，这就表明当n＝k＋1时，猜想成立，根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即an＝2n＋1n.“归纳——猜想——证明”的模式“归纳——猜想——证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．(2019·宁波市九校联考)已知n∈N*，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2n×1×3×…×(2n－1)．(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．解：(1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120.(2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)．证明：①当n＝1时，S1＝T1；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝Tk，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k×1×3×…×（2k－1）k＋1×(2k＋1)(2k＋2)＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1.即n＝k＋1时也成立，由①②可知，n∈N*，Sn＝Tn成立．用数学归纳法证明与不等式有关的命题，在由n＝k证明n＝k＋1时，要准确利用证明不等式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等．使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k＋1时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．易错防范(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和为(n－2)π时，初始值n0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．