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第二章函数概念与基本初等函数第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)函数模型函数解析式指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性_____________________增长速度__________________相对平稳图象的变化随x值增大，图象与____接近平行随x值增大，图象与____接近平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使ax0xn0logax0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a1)的增长速度．()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()××√×下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x答案：A在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]解析：选C.设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，x40＝40－y40，所以y＝40－x.因为xy≥300，所以x(40－x)≥300，所以x2－40x＋300≤0，所以10≤x≤30.某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x100.答案：y＝0.5x，0x≤100，0.4x＋10，x100某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得alog48＋b＝1alog464＋b＝4，即32a＋b＝1，3a＋b＝4.解得a＝2，b＝－2.所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8.x＝1024(万元)．答案：1024(1)下表是在某个投资方案中，整理到的投入资金x(万元)与收益y(万元)的统计表．投入资金x(万元)123456收益y(万元)0.40.81.63.16.212.3你认为投入资金x与收益y选择下列哪个模拟函数比较恰当()函数模型的选择A．y＝ax＋bB．y＝a·bxC．y＝ax2＋bx＋cD．y＝blogax＋c(2)某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为()A．y＝ax＋bB．y＝a＋logbxC．y＝a·bxD．y＝ax2＋b【解析】(1)画出大致散点图如图所示，根据散点图可知选B.(2)根据散点图可知，较适宜的函数模型为y＝a＋logbx，故选B.【答案】(1)B(2)B选择函数模型的基本思想(1)根据数据描绘出散点图；(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋bB．y＝a＋bxC．y＝a·bxD．y＝ax2＋bx＋c解析：选B.根据散点图知，选择y＝a＋bx最适合，故选B.2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________元/100kg.解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得a（60－120）2＋m＝116，a（100－120）2＋m＝84，解得a＝0.01，m＝80，所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.答案：(1)120(2)80已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．函数模型的应用(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解】(1)在y＝kx－120(1＋k2)x2(k0)中，令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件知x0，k0.解以上关于x的方程得x＝20k1＋k2＝201k＋k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程是10千米．(2)因为a0，所以炮弹可以击中目标⇔存在k0，使ka－120(1＋k2)a2＝3.2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，得Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0，k1＋k2＝20aa20，k1k2＝a2＋64a20，解得0a≤6.所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中它．已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系．(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．(3)最后回归问题的结论．1．某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.解析：由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.答案：192．(2019·金华模拟)一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16(高频考点)构建函数模型是每年高考的重点，难度中等．主要命题角度有：(1)构建二次函数模型；(2)构建指数函数、对数函数模型；(3)构建分段函数模型；(4)构建y＝x＋ax(a0)模型．构建函数模型解决实际问题角度一构建二次函数模型某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－52R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A．[4，8]B．[6，10]C．[4%，8%]D．[6%，10%]【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需30－52R×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]．【答案】A角度二构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1200，两边同时取对数，得n－1lg2－lg1.3lg1.12，又lg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【答案】B角度三构建分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13（200－x），20x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x（200－x），20x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13x＋（200－x）22＝100003，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间0，200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．角度四构建y＝x＋ax(a0)模型要建造一个容积为2400m3，深为6m的长方体无盖水池．池底造价为100元/m2，池壁造价为80元/m2，则最低造价为________(元)．【解析】设水池长为x，则宽为24006x＝400x.则总造价y＝(12x＋4800x)×80＋400×100＝960(x＋400x)＋40000≥960×2x×400x＋40000＝78400(元)．当且仅当x＝400x，即x＝20时，最低造