（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性、对称

第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性、对称性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_________________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称f(－x)＝f(x)y轴奇偶性定义图象特点奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________________，那么函数f(x)是奇函数关于_____对称f(－x)＝－f(x)原点2.函数奇偶性的几个重要结论(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．函数的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝a＋b2对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()√×√(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(5)若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则a＋b＝2.()√√定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：选C.由奇函数的定义可知，y＝x3，y＝2sinx为奇函数．(教材习题改编)函数f(x)＝1x2的大致图象为()解析：选D.因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上为减函数，又因为f(－x)＝1（－x）2＝1x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故选D.(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](ab0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上()A．有最大值4B．有最小值－4C．有最大值－3D．有最小值－3解析：选B.法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知选B.法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．解析：依题意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f(x)是奇函数，得f(2)＝－f(－2)＝12.答案：12(1)函数y＝|x－4|－49－x2的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数判断函数的奇偶性(2)在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsinx中，偶函数的个数是()A．3B．2C．1D．0【解析】(1)由9－x20可得－3x3，所以x－40，f(x)＝|x－4|－49－x2＝4－x－49－x2＝－x9－x2，f(－x)＝|x＋4|－49－x2＝4＋x－49－x2＝x9－x2＝－f(x)，所以函数y＝|x－4|－49－x2是奇函数，故选A.(2)y＝xcosx是奇函数，y＝lgx2－2和y＝xsinx是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，故选B.【答案】(1)A(2)B判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．1．设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数解析：选D.f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(3)f(x)＝x2＋x，x＞0，x2－x，x＜0.解：(1)因为函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由4－x2≥0|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0，所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．所以f(x)＝4－x2（x＋3）－3＝4－x2x.所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．(1)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．函数奇偶性的应用【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0，即a＝1.(2)f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.【答案】(1)1(2)3已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．1．已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3B．0C．－1D．－2解析：选B.设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3（x＋1），x≥0，g（x），x0，则g(f(－8))＝()A．－1B．－2C．1D．2解析：选A.因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，所以g[f(－8)]＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________．解析：当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．答案：x(1－x)(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0x1时，f(x)＝2x－1，则f(log29)＝()A．－79B．8C．－10D．－259函数的对称性(2)已知函数f(x)＝ax＋bx－b，其图象关于点(－3，2)对称，则f(2)的值是________．【解析】(1)f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象的对称轴为x＝1，f(log29)＝－flog294，因为1log2942，故flog294＝f2－log294＝flog2169，其中0log21691，所以flog2169＝2log2169－1＝79，故f(log29)＝－79，故选A.(2)因为函数f(x)＝ax＋bx－b＝a＋ab＋bx－b，所以函数的对称中心为(b，a)．又因为函数f(x)＝ax＋bx－b，其图象关于点(－3，2)对称，所以a＝2，b＝－3.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－3x＋3，所以f(2)＝2×2－32＋3＝15.【答案】(1)A(2)15(1)函数满足f(x＋t)＝f(t－x)(或f(x)＝f(2t－x))，则函数关于直线x＝t对称，若函数满足f(x＋2t)＝f(x)，则函数f(x)以2t(t≠0)为周期．(2)若函数y＝f(x)的对称中心为(a，b)，根据函数y＝f(x)图象上任意点关于该对称中心的对称点也在此函数图象上，利用恒等式求解．1．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．1解析：选D.由于函数f(x)是两个函数y1＝|x|，y2＝|x＋t|中的较小者，因此f(x)在不同的定义域内取值不同，故需作出其图象求解．在同一坐标系中，分别作出函数y＝|x|与y＝|x＋t|的草图(如图)．由图象知f(x)的图象为图中的实线部分(A－B－C－O－E)．由于f(x)的图象关于直线x＝－12对称，于是－t＋02＝－12，所以t＝1.2．函数f(x)＝x－ax－a－1的图象的对称中心是(4，1)，则a＝________．解析：因为f(x)＝x－ax－a－1＝x－a－1＋1x－a－1＝1＋1x－a－1，所以函数f(x)图象的对称中心是(a＋1，1)．由已知得a＋1＝4，故a＝3.答案：3(高频考点)函数的奇偶性及单调性是函数的两大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．主要命题角度有：(1)函数的奇偶性与单调性相结合；(2)函数的奇偶性与对称性相结合．函数性质的综合应用角度一函数的奇偶性与单调性相结合(2019·金丽衢十二校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(4)＝f(－2)＝0，在区间(－∞，－3)与