（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值

第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2增函数减函数定义当x1x2时，都有_________________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有_________________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)增函数减函数图象描述自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是_______或_______，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有__________；(2)存在x0∈I，使得___________(1)对于任意x∈I，都有__________；(2)存在x0∈I，使得___________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．()(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()×××(4)所有的单调函数都有最值．()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．()××√(教材习题改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]上的图象，则下列哪个说法是正确的()A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1，3]上是增函数B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2解析：选C.根据题图提供的信息可知选C.(教材习题改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k12B．k12C．k－12D．k－12解析：选D.因为函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，所以2k＋10，即k－12.(教材习题改编)函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2，4]的单调递增区间为________，f(x)max＝__________．解析：函数f(x)的对称轴为x＝1，单调增区间为[1，4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1，4]8(教材习题改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f(x)＝2x－1在[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.答案：225(高频考点)函数单调性的判断、证明及单调区间的求法是每年高考的热点，特别是导数的引入，使函数单调性成为每年必考内容．主要命题角度有：(1)求函数的单调区间；(2)判断或证明函数的单调性．确定函数的单调性(区间)角度一求函数的单调区间(2019·杭州七校联考)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．【解】f(x)＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，＝－（x－1）2＋2，x≥0，－（x＋1）2＋2，x0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．若将本例中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)．角度二判断或证明函数的单调性设函数f(x)＝x＋ax＋lna为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用定义法加以证明．【解】(1)因为f(x)＝x＋ax＋lna为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－x－ax＋lna＝－x＋ax＋lna，所以lna＝0，所以a＝1.(2)f(x)＝x＋1x在区间(1，＋∞)上是增函数．证明如下：设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋1x1－1x2＝x1－x2－x1－x2x1x2＝(x1－x2)x1x2－1x1x2.因为1＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2－1x1x2＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒]求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|解析：选C.当x0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x＋1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解：选D.由x2－2x－80，得x－2或x4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.3．作出函数y＝|x2－1|＋x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x≥1或x≤－1时，y＝x2＋x－1＝x＋122－54；当－1x1时，y＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54.画出函数图象如图所示：由函数图象可知，函数的减区间为(－∞，－1]，12，1，函数的增区间为－1，12，[1，＋∞)．(1)函数y＝x＋x－1的最小值为________．(2)函数y＝2x2－2x＋3x2－x＋1的值域为________．(3)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．函数的最值(值域)【解析】(1)法一：令t＝x－1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝t＋122＋34，又因为t≥0，所以y≥14＋34＝1，故函数y＝x＋x－1的最小值为1.法二：因为函数y＝x和y＝x－1在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋x－1在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.(2)y＝2x2－2x＋3x2－x＋1＝2（x2－x＋1）＋1x2－x＋1＝2＋1x2－x＋1＝2＋1x－122＋34.因为x－122＋34≥34，所以22＋1x－122＋34≤103，故函数的值域为2，103.(3)f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．令x＋2＝10－x，得x＝4，故当x＝4时，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值为6.故答案为6.【答案】(1)1(2)2，103(3)6求函数最值的五种常用方法及其思路1．(2019·温州市十校联合体期初考试)已知函数f(x)＝23，x1，4sinπx－π3，0≤x≤1，则f(x)的最小值是()A．－23B．23C．－4D．4解析：选A.当0≤x≤1时，f(x)＝4sinπx－π3，因为－π3≤πx－π3≤2π3，所以－32≤sinπx－π3≤1，所以－23≤4sinπx－π3≤4，当x1时，f(x)＝23，综上可得f(x)的最小值为－23.2．(2019·宁波五校联考)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值解析：选C.由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝|f（x）|，|f（x）|≥g（x），－g（x），|f（x）|g（x），故h(x)有最小值－1，无最大值．函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)求参数的值或取值范围．函数单调性的应用(高频考点)角度一比较两个函数值或两个自变量的大小已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f－12＝f52.由x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为12523，所以f(2)f52f(3)，所以bac.【答案】D角度二解函数不等式已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．【解析】由已知可得a2－a0，a＋30，a2－aa＋3，解得－3a－1或a3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)角度三求参数的值或取值范围(2019·瑞安四校联考)若f(x)＝ax，x1，4－a2x＋2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．【解析】因为f(x)是定义在R上的增函数，故y＝ax和y＝4－a2x＋2均为增函数，所以a1且4－a20，即1a8.又由图象(图略)可得，该函数还必须满足a1≥4－a2×1＋2，即a≥4.综上，a的取值范围为4≤a8.【答案】[4，8)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[