（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第7讲 立体几何中的向量方法

第八章立体几何与空间向量第2课时空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．空间中的距离问题(1)求证：平面EFG⊥平面PAB；(2)求点A到平面EFG的距离．【解】如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．(1)证明：因为EF→＝(0，1，0)，AP→＝(0，0，2)，AB→＝(2，0，0)，所以EF→·AP→＝0×0＋1×0＋0×2＝0，EF→·AB→＝0×2＋1×0＋0×0＝0，所以EF⊥AP，EF⊥AB.又因为AP，AB⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，所以EF⊥平面PAB.又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAB.(2)设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF→＝（x，y，z）·（0，1，0）＝0，n·EG→＝（x，y，z）·（1，2，－1）＝0，所以y＝0，x＋2y－z＝0.取n＝(1，0，1)，又AE→＝(0，0，1)，所以点A到平面EFG的距离d＝|AE→·n||n|＝12＝22.(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．①点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距：点M到直线a的距离，若直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离为d＝|MN→|·sin〈MN→，a〉；③线线距：两平行线间的距离转化为点线距离，两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距：点M到平面α的距离，若平面α的法向量为n，平面α内任一点为N，则点M到平面α的距离d＝|MN→||cos〈MN→，n〉|＝|MN→·n||n|.(2)利用空间向量求空间距离问题，首先应明确所求距离的特征，恰当选用距离公式求解．1．如图，P­ABCD是正四棱锥，ABCD­A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝6，则B1到平面PAD的距离为________．解析：以A1B1所在直线为x轴，A1D1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则AD→＝(0，2，0)，AP→＝(1，1，2)，设平面PAD的法向量是m＝(x，y，z)，所以由m·AD→＝0，m·AP→＝0，可得2y＝0，x＋y＋2z＝0.取z＝1，得m＝(－2，0，1)，因为B1A→＝(－2，0，2)，所以B1到平面PAD的距离d＝|B1A→·m||m|＝655.答案：6552．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求平面A1BC1与平面ACD1的距离．解：(1)证明：因为AA1═∥CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1.又AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证CD1∥平面A1BC1.又AC∩CD1＝C，AC⊂平面ACD1，CD1⊂平面ACD1，所以平面A1BC1∥平面ACD1.(2)以B1为原点，分别以B1A1→，B1C1→，B1B→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，0)，A(4，0，2)，D1(4，3，0)，C(0，3，2)，A1A→＝(0，0，2)，AC→＝(－4，3，0)，AD1→＝(0，3，－2)，设n＝(x，y，z)为平面ACD1的一个法向量，则n·AC→＝0，n·AD1→＝0，即－4x＋3y＝0，3y－2z＝0，取n＝(3，4，6)，所以所求距离d＝|A1A→|×|cos〈n，A1A→〉|＝|n·A1A→||n|＝1232＋42＋62＝126161，故平面A1BC1与平面ACD1的距离为126161.(1)(2019·宁波十校联考)如图，平面PAB⊥平面α，AB⊂α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，l⊂α，且l⊥AB，则PQ与l所成角的正切值的最小值为()A．－3＋372B．3＋372C．7D．3立体几何中的最值(范围)问题(2)(2019·温州高考模拟)如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是()A．0，22B．0，63C．22，2D．63，2【解析】(1)如图，不妨以CD在AB前侧为例．以O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，∠OAD＝θ(0θπ)，则P(0，0，3)，D(2sinθ，－1＋2cosθ，0)，所以Q23sinθ，23cosθ－13，0，所以QP→＝－23sinθ，13－23cosθ，3，设α内与AB垂直的向量n＝(1，0，0)，PQ与l所成角为φ，则cosφ＝QP→·n|QP→||n|＝－23sinθ329－49cosθ＝sinθ8－cosθ＝1－cos2θ8－cosθ.令t＝cosθ(－1t1)，则s＝1－t28－t，s′＝t2－16t＋1（8－t）2，令s′＝0，得t＝8－37，所以当t＝8－37时，s有最大值为16－67.则cosφ有最大值为16－67，此时sinφ取最小值为67－15.所以正切值的最小值为67－1516－67＝3＋372.故选B.(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，1，1)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，设Q(q，0，0)，AP→＝λAB→＝(0，λ，－λ)(0≤λ≤1)，则PQ→＝CQ→－CP→＝CQ→－(CA→＋AP→)＝(q，0，0)－(0，1，1)－(0，λ，－λ)＝(q，－1－λ，λ－1)，因为直线PQ与AC成30°的角，所以cos30°＝|CA→·PQ→||CA→|·|PQ→|＝22·q2＋（1＋λ）2＋（λ－1）2＝2q2＋2λ2＋2＝32，所以q2＋2λ2＋2＝83，所以q2＝23－2λ2∈[0，4]，所以23－2λ2≥023－2λ2≤4，解得0≤λ≤33，所以|AP→|＝2λ∈0，63，所以线段PA长的取值范围是0，63.故选B.【答案】(1)B(2)B(1)求解立体几何中的最值问题，需要先确定最值的主体，确定题目中描述的相关变量，然后根据所求，确定是利用几何方法求解，还是转化为代数(特别是函数)问题求解．利用几何方法求解时，往往利用几何体的结构特征将问题转化为平面几何中的问题进行求解，如求几何体表面距离的问题．利用代数法求解时，要合理选择参数，利用几何体中的相关运算构造目标函数，再根据条件确定参数的取值范围，从而确定目标函数的值域，即可利用函数最值的求解方法求得结果．(2)用向量法解决立体几何中的最值问题，不仅简捷，更减少了思维量．用变量表示动点的坐标，然后依题意用向量法求其有关几何量，构建有关函数，从而用代数方法即可求其最值．1．(2019·浙江省五校联考模拟)如图，棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是()A．2(2＋2)B．2(3＋2)C．2(3＋1)D．2(2＋1)解析：选B.如图所示，作C1O⊥α，交ABCD于O，交α于E，由题得O在AC上，则C1E为所求，∠OAE＝30°，由题意，设CO＝x，则AO＝42－x，C1O＝16＋x2，OE＝12OA＝22－12x，所以C1E＝16＋x2＋22－12x，令y＝16＋x2＋22－12x，则y′＝x16＋x2－12＝0，可得x＝43，所以x＝43时，顶点C1到平面α的距离的最大值是2(3＋2)．2．(2019·浙江省名校协作体高三联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cosθ的取值范围．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，所以AB＝2，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3，所以AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC，因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)如图所示，由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，令FM＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，所以AB→＝(－3，1，0)，BM→＝(λ，－1，1)，设n1＝(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，由n1·AB→＝0n1·BM→＝0，得－3x＋y＝0λx－y＋z＝0，取x＝1，则n1＝(1，3，3－λ)，因为n2＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，所以cosθ＝|n1·n2||n1|·|n2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4，因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cosθ有最小值77，当λ＝3时，cosθ有最大值12，所以cosθ∈77，12.空间中的距离(1)点与点之间的距离利用空间两点间的距离公式利用空间向量的模长利用辅助线转化为平面距离(2)点线距离转化为两点间距离求解利用向量法求解(3)点面之间距离等积法求解向量法求解立体几何中的最值(范围)问题(1)几何体的面积、体积的最值(范围)(2)空间角(或空间角三角函数值)的最值(范围)(3)空间距离的最值(范围)求解方法①构造函数法②转化为平面问题③引入参数利用向量法