（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第6讲 空间向量的运算及应用课

第八章立体几何与空间向量第6讲空间向量的运算及应用1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得______．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________．a＝λbp＝xa＋yb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得______________．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．p＝xa＋yb＋zc2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作_________．通常规定__≤〈a，b〉≤__．若〈a，b〉＝___，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积a·b＝______________________．∠AOB〈a，b〉0ππ2|a||b|cos〈a，b〉(3)向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；②a⊥b⇔________；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|___|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝___________(分配律)．a·b＝0≤a·b＋a·c3．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝_________________，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a1b1＋a2b2＋a3b3cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝OB→－OA→＝___________________________．(x2－x1，y2－y1，z2－z1)4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意_________也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．非零向量(2)平面的法向量①定义：与平面_____的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.垂直5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔________l1⊥l2n1⊥n2⇔__________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔________l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0n1＝λn2n1·n2＝0n·m＝0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.()(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()√×××(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()(6)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()×√在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为()A．(3，0，0)B．(0，3，0)C．(0，0，3)D．(0，0，－3)解析：选C.设P(0，0，z)，则有（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z）2＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z）2，解得z＝3.(教材习题改编)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB．12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD．12a－12b＋c解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.(教材习题改编)已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________．解析：因为a＝(2，4，x)，|a|＝6，则x＝±4，又b＝(2，y，2)，a⊥b，当x＝4时，y＝－3，x＋y＝1.当x＝－4时，y＝1，x＋y＝－3.答案：1或－3若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以－36＝y－2＝2z，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－3如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝________．(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________．空间向量的线性运算【解析】(1)A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－AO→＝A1O→＋OA→＝A1A→.(2)因为OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)．所以OC1→＝OC→＋CC1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.【答案】(1)A1A→(2)12AB→＋12AD→＋AA1→若本例条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，试求x，y，z的值．解：EO→＝ED→＋DO→＝－23DD1→＋12(DA→＋DC→)＝12AB→－12AD→－23AA1→，由条件知，x＝12，y＝－12，z＝－23.用已知向量表示某一向量的方法1．在空间四边形ABCD中，若AB→＝(－3，5，2)，CD→＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF→的坐标为()A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1)D．(－5，2，－1)解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，所以EF→＝OF→－OE→，OF→＝12(OA→＋OD→)，OE→＝12(OB→＋OC→)．所以EF→＝12(OA→＋OD→)－12(OB→＋OC→)＝12(BA→＋CD→)＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2.在三棱锥O­ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示(1)MG→；(2)OG→.解：(1)MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.(2)OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.共线、共面向量定理的应用【证明】(1)连接BG(图略)，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知，E，F，G，H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(1)证明空间三点P、A、B共线的方法①PA→＝λPB→(λ∈R)；②对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)；③对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．(2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法①MP→＝xMA→＋yMB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；③对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．1．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3，2D．2，2解析：选A.因为a∥b，所以b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，所以6＝k（λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k，解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12.2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解：(1)由题知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，所以OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，所以MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1→的长；(2)求BD1→与AC→夹角的余弦值．空间向量的数量积【解】(1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝12.|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，所以|AC1→|＝6，即AC1的长为6.(2)BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，所以|BD1→|＝2，|AC→|＝3，BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，所以cos〈BD1→，AC→〉＝BD1→·AC→|BD1→||AC→|＝66.即BD1→与AC→夹角的余弦值为66.(1)空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0.②|a|＝a2.③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－143C．145D．2解析：选D.由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a和b夹角的余弦值；(2)设|c|＝3，c∥BC→，求c的坐标．解：(1)因为AB→＝(1，1，0)，AC→＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1＋0＋0＝－1，|a|＝2，|b|＝5，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12×5＝－1010.(2)BC→＝(－2，－1，2)．设c＝(x，y，z)，因为|c|＝3，c∥BC→，所以x2＋y2＋z2＝3，存在实数λ使得c＝λBC→，