（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题一 专题培优 “平面向量、三角函数与解三角形”专题培优

专题培优“平面向量、三角函数与解三角形”专题培优课培优点(一)防止思维定式，实现“移花接木”失误1因混淆向量共线与向量垂直的坐标表示而失误[例1]设向量a＝(3,2)，b＝(6,10)，c＝(x，－2)．若(2a＋b)⊥c，则x＝()A．－127B．－3C.76D.73[解析]因为a＝(3,2)，b＝(6,10)，所以2a＋b＝(12,14)．因为c＝(x，－2)，且(2a＋b)⊥c，所以(2a＋b)·c＝0，即12x－28＝0，解得x＝73，故选D.[答案]D[名师点评]向量共线与向量垂直的坐标表示极易混淆，其突破的口诀是“平行交差，垂直相加”，即对于非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，而a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.本题易误得12×－2－14x＝0，从而误选A.失误2因不会变角求值而解题受阻[例2]设α为锐角，若cosα＋π6＝－13，则sin2α＋π12的值为()A.725B.72－818C．－17250D.25[解析]法一：因为α为锐角，所以π6α＋π62π3，又cosα＋π6＝－13，所以sinα＋π6＝223，所以sin2α＋π6＝2sinα＋π6cosα＋π6＝－429.因为π32α＋π64π3，sin2α＋π6＝－4290，所以π2α＋π64π3，所以cos2α＋π6＝－1－sin22α＋π6＝－1－－4292＝－79，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝－429×22－－79×22＝72－818.故选B.法二：因为α为锐角，所以π6α＋π62π3，又cosα＋π6＝－13，所以sinα＋π6＝223，所以sin2α＋π6＝2sinα＋π6cosα＋π6＝－429，cos2α＋π6＝1－2sin2α＋π6＝1－2232×2＝－79，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝－429×22－－79×22＝72－818.故选B.[答案]B[名师点评](1破解此类题的关键是应用角的变换法，观察所给的角的特点与要求的三角函数中的角的特点来进行角的变换.如本题中，先把2α＋π12转化为2α＋π3－π4，再转化为2α＋π6－π4.2解此类题时需要特别注意的地方是在利用同角三角函数的基本关系式时，一定要注意角的取值范围.如本题中由α为锐角，可知α＋π6的范围，这样可以避免错解.失误3因忽视对三角形解的个数讨论而失分[例3]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bsinA，c＝3b.(1)求B的值；(2)若△ABC的面积为23，求a，b的值．[解](1)在△ABC中，已知a＝2bsinA，根据正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，因为sinA≠0，所以sinB＝12，所以B＝30°或B＝150°，又cb，所以CB，所以角B为锐角，所以B＝30°.(2)由(1)知，B＝30°，根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos30°，因为c＝3b，①所以2b2－3ab＋a2＝0，所以a＝b或a＝2b，②又S△ABC＝12acsin30°＝23，所以ac＝83，③联立①②③，解得a＝4，b＝2或a＝22，b＝22.[名师点评]1应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍.,2求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.培优点(二)灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略1特取法：快解三角、向量的基本问题[例1](1)设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.2－2C．－1D．1－2(2)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形(3)求值：cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)＝________.[解析](1)由已知条件可知向量a，b是互相垂直的单位向量，故构造a＝(1,0)，b＝(0,1)．又c是单位向量，故设c＝(cosα，sinα)，则(a－c)·(b－c)＝(1－cosα，－sinα)·(－cosα，1－sinα)＝1－sinα－cosα＝1－2sinα＋π4，∴(a－c)·(b－c)≥1－2，故选D.(2)在△A1B1C1中，令A1＝45°，B1＝60°，C1＝75°，在△A2B2C2中，令A2＝135°，B2＝30°，C2＝15°，满足cosA1＝sinA2，cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形．故选D.(3)令α＝0°，得原式＝32.[答案](1)D(2)D(3)32[名师点评](1)本例(1)的已知条件中涉及单位向量，我们可以通过构造特殊的向量(cosα，sinα)，将向量数量积的最值问题转化为三角函数的最值问题，从而使得问题得到简化．(2)本例(2)依赖特殊图形与特殊角的思想，让复杂难以理解的问题最后用简单的思想诠释，取得了事半功倍的效果．常见的特殊图形有：①三角形“特殊”成直角三角形或等边三角形；②四边形“特殊”成正方形；③棱柱“特殊”成正方体等．(3)由于本例(3)中的α具有任意性，所以α无论怎么取，结果始终是一个定值．策略2换元法：求解三角函数值域问题换元法又称变量替换法，是我们解题常用方法之一．对结构较复杂的式子，可把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，可以化繁为简，化难为易．本专题常用换元法解决最值问题．[例2]设a0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值．[解]设sinx＋cosx＝t，则t∈[－2，2]，由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx，得sinx·cosx＝t2－12，所以f(x)＝g(t)＝2at－t2－12－2a2＝－12(t－2a)2＋12(a0)，t∈[－2，2]．当t＝－2时，g(t)取最小值－2a2－22a－12；若2a≥2，当t＝2时，g(t)取最大值－2a2＋22a－12；若02a2，当t＝2a时，g(t)取最大值12.所以f(x)的最小值为－2a2－22a－12，最大值为12，0a22，－2a2＋22a－12，a≥22.[名师点评]此题利用局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题．换元过程中一定要注意参数的范围(t∈[－2，2])与sinx＋cosx的范围对应，否则将会出错．培优点(三)系统数学思想，实现“触类旁通”(一)数形结合思想[例1](1)已知关于x的方程sinx＋cosx＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的一个值是()A．0B.12C.22D．1(2)已知a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)(3)在△ABC中，A＝π6且12sinB＝cos2C2，BC边上的中线长为7，则△ABC的面积是________．[解析](1)由题可设得m＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，又π4≤x＋π4≤5π4，令t＝x＋π4，则π4≤t≤5π4，由题意及函数y＝2sintt∈π4，5π4的图象可知，1≤m2，结合选项可知选D.(2)如图，设OA→＝a，OE→＝e，则|a－e|＝|EA→|，|a－te|表示连接点A与直线OE上的点的线段的长度d，由题意，|EA→|为d的最小值，此时EA→⊥OE→，即e⊥(a－e)，故选C.(3)∵12sinB＝cos2C2＝cosC＋12，∴sinB＝cosC＋1，∴C为钝角．又B＋C＝5π6，∴sinB＝sin5π6－C＝cosC＋1，∴12cosC＋32sinC＝cosC＋1，∴32sinC－12cosC＝1，∴sinC－π6＝1，∴C＝2π3，B＝π6.如图，记D为BC的中点，则AD＝7.令CD＝x，则AC＝2x，在△ACD中，x2＋4x2－2·x·2x·cos120°＝7，∴x＝1，∴S△ABC＝12×2×2×sin120°＝3.[答案](1)D(2)C(3)3[名师点评]本例1将方程根的个数转化为直线y＝m与函数y＝2sinx+π4图象交点的个数解决；本例2利用向量的几何特征，将问题转化为平面几何问题，显得直观、简洁.本例3做出示意图，直观易懂.(二)函数与方程思想[例2]已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，c＝2.(1)求△ABC的面积的最大值；(2)求△ABC的周长的取值范围．[解](1)法一：由余弦定理得4＝a2＋b2＋ab.由基本不等式得4＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab，所以ab≤43，当且仅当a＝b时等号成立．所以三角形的面积S＝12absinC≤12×43×32＝33.所以△ABC的面积的最大值为33.法二：由asinA＝bsinB＝csinC＝433，得a＝433sinA，b＝433sinB.所以三角形的面积S＝12absinC＝12×4332×sinAsinB×32＝433sinAsinB.因为在△ABC中，C＝120°，所以A＋B＝60°，得B＝60°－A，且0°A60°，所以sinAsinB＝sinAsin(60°－A)＝32sinAcosA－12sin2A＝34sin2A－14(1－cos2A)＝34sin2A＋14cos2A－14＝12sin(2A＋30°)－14≤12－14＝14，当且仅当A＝30°时等号成立．所以S≤433×14＝33，所以△ABC的面积的最大值为33.(2)由(1)中法二可知，a＝433sinA，b＝433sinB.所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝433(sinA＋sinB)＋2.因为在△ABC中，C＝120°，所以A＋B＝60°，得B＝60°－A，且0°A60°，所以sinA＋sinB＝sinA＋sin(60°－A)＝12sinA＋32cosA＝sin(A＋60°)，所以l＝433sin(A＋60°)＋2.因为60°A＋60°120°，所以32sin(A＋60°)≤1，所以4l≤433＋2，即△ABC的周长的取值范围是4，433＋2.[名师点评]把解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合起来进行考查是高考命题的主要方向，其基本解题思路是使用正、余弦定理，三角恒等变换等把求解目标化为关于三角形中某个内角的三角函数，通过研究该三角函数的性质得出结论.培优点(四)强化应用导向，做到“把根留住”形如“asinα＋bcosα＝c”求值的几种考法[题根研究——挖考查实