（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题一 小题考法课一　平面向量课件

浙江卷5年考情分析小题考法统计大题考法分析常考点1.平面向量的数量积及应用(5年5考)2.三角函数的图象与性质及应用(5年4考)3.利用正、余弦定理解三角形(5年5考)1.平面向量的线性运算偶考点2.三角恒等变换与求值浙江高考对此部分内容在解答题中的考查主要集中在三角恒等变换、解三角形、三角函数的性质．以函数为载体考查三角函数的最值，三角恒等变换一般不单独考查，常结合正、余弦定理考查解三角形，结合三角函数的性质考查三角函数，近两年三角函数的概念、性质和三角恒等变换是考查的热点，试题难度中档偏下.小题考法课一平面向量考点(一)平面向量的线性运算[考查趋向]主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.[试典题——考点悟通][典例](1)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝()A．4B．－5C．6D．－6(2)(2019·绍兴一中适应性考试)在△ABC中，BD→＝12DC→，则AD→＝()A.14AB→＋34AC→B.23AB→＋13AC→C.13AB→＋23AC→D.13AB→－23AC→(3)若点P是△ABC的外心，且PA→＋PB→＋λPC→＝0，∠ACB＝120°，则实数λ的值为()A.12B．－12C．－1D．1[解析](1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.故选D.(2)因为BD→＝12DC→，由向量的减法运算得2(AD→－AB→)＝AC→－AD→，所以AD→＝23AB→＋13AC→，故选B.(3)设AB的中点为D，则PA→＋PB→＝2PD→.因为PA→＋PB→＋λPC→＝0，所以2PD→＋λPC→＝0，所以向量PD→，PC→共线．又P是△ABC的外心，所以PA＝PB，所以PD⊥AB，所以CD⊥AB.因为∠ACB＝120°，所以∠APB＝120°，所以四边形APBC是菱形，从而PA→＋PB→＝2PD→＝PC→，所以2PD→＋λPC→＝PC→＋λPC→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案](1)D(2)B(3)C[学技法——融会贯通]掌握平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．[对点练——触类旁通]1．已知e1，e2是平面内两个不共线向量，AB→＝e1－ke2，CB→＝2e1－e2，CD→＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A．2B．－3C．－2D．3解析：选A∵CB→＝2e1－e2，CD→＝3e1－3e2，∴BD→＝CD→－CB→＝(3e1－3e2)－(2e1－e2)＝e1－2e2.∵A，B，D三点共线，∴AB→与BD→共线，∴存在唯一的实数λ，使得e1－ke2＝λ(e1－2e2)．即1＝λ，－k＝－2λ，解得k＝2.2.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD→＋AE→＝xAB→＋yAC→，则1x＋4y的最小值为()A.32B．2C.52D.92解析：选D设AD→＝mAB→＋nAC→，AE→＝λAB→＋μAC→，∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.∵AD→＋AE→＝xAB→＋yAC→，则x＋y＝2，∴1x＋4y＝121x＋4y(x＋y)＝125＋yx＋4xy≥125＋2yx·4xy＝92.则1x＋4y的最小值为92.3．(2019·浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|的最小值是________，最大值是________．解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则AB→＝(1,0)，AD→＝(0,1)．设a＝λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→＝λ1AB→＋λ2AD→－λ3AB→－λ4AD→＋λ5(AB→＋AD→)＋λ6(AD→－AB→)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB→＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD→＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a|＝λ1－λ3＋λ5－λ62＋λ2－λ4＋λ5＋λ62.∵λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB→＋λ2BC→＋λ3CD→＋λ4DA→＋λ5AC→＋λ6BD→|的最大值为4＋16＝25.答案：025考点二平面向量的数量积及应用[考查趋向]主要考查数量积的运算、夹角，向量模的计算问题及平面向量中的最值问题.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·金华一中月考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R，若BQ→·CP→＝－32，则λ＝()A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0.若|λa－b|的最小值为2(λ∈R)，则a·b＝()A．0B．4C．8D．16(3)(2019·杭州二中高考仿真)设a，b为单位向量，向量c满足|2c＋a|＝|a·b|，则|c－b|的最大值为()A．2B．1C.3D.2[解析](1)由题可得，BQ→·CP→＝(AQ→－AB→)·(AP→－AC→)＝(1－λ)AC→·λAB→－(1－λ)·AC→2－λAB→2＋AC→·AB→＝－2λ2＋2λ－2＝－32，解得λ＝12，故选A.(2)法一：由已知得a·b＝b2，则|λa－b|＝a2λ2－2λa·b＋b2＝16λ2－2λa·b＋a·b(λ∈R)，当且仅当λ＝a·b16时，|λa－b|有最小值2，所以16a·b162－2a·b16a·b＋a·b＝4，所以(a·b－8)2＝0，故a·b＝8.故选C.法二：向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，即a·b＝b2.由题意知|λa－b|＝a2λ2－2λa·b＋b2＝16λ2－2λa·b＋a·b≥2(λ∈R)，即16λ2－2λa·b＋a·b－4≥0对于λ∈R恒成立，所以对于方程16λ2－2λa·b＋a·b－4＝0，Δ＝4(a·b)2－64(a·b－4)≤0，即(a·b－8)2≤0，所以(a·b－8)2＝0，所以a·b＝8.故选C.(3)|2c＋a|＝|2(c－b)＋(a＋2b)|＝|a·b|≥2|c－b|－|a＋2b|，所以2|c－b|≤|a·b|＋|a＋2b|≤1＋3＝4.当且仅当a，b同向时取到等号．所以|c－b|≤2，当且仅当a，b同向，且c－b与a＋2b反向时取等号，所以|c－b|max＝2，故选A.[答案](1)A(2)C(3)A[学技法——融会贯通]在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(a±b)2＝|a|2＋|b|2±2a·b，(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)的灵活运用．另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度．[对点练——触类旁通]1.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，DC→＝13AB→，AC与BD相交于点O，E是BD的中点，若AO→·AE→＝8，则AC→·BD→＝()A．－9B．－293C．－10D．－323解析：选D由DC→＝13AB→，可得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，AO→＝34AC→＝34AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→，又E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，则AO→·AE→＝34AD→＋14AB→·12AD→＋12AB→＝38AD2→＋18AB2→＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，则AD→·AB→＝4，则AC→·BD→＝AD→＋13AB→·AD→－AB→＝AD2→－13AB2→－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.2．(2019·镇海中学模拟)已知|a|＝2，|b|＝|c|＝1，则(a－b)·(c－b)的最小值为()A．－2B．－4C．－6D．－1解析：选A因为(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·c－2a·b－2b·c＝6＋2(a·c－a·b－b·c)，所以a·c－a·b－b·c＝12(a－b＋c)2－3，所以(a－b)(c－b)＝a·c－a·b－b·c＋b2＝12(a－b＋c)2－2≥－2，故选A.3．设a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，则|2a－b|的取值范围是________．解析：设|2a－b|＝t，则4a2－4a·b＋b2＝t2，∵|a＋2b|＝2，则a2＋4a·b＋4b2＝4，∴5a2＋5b2＝t2＋4，∵|a|＝1，∴t2＝1＋5b2，∵|a＋2b|＝2，|a|＝1，∴由|a＋2b|≤|a|＋2|b|＝1＋2|b|，得|b|≥12，由|2b＋a|≥2|b|－|a|＝2|b|－1，得|b|≤32，∴14≤b2≤94，∴t2＝1＋5b2∈94，494，∴32≤t≤72，∴|2a－b|∈32，72.答案：32，72[知能自主补遗](一)主干知识要记牢1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．平面向量的性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(4)|a·b|≤|a|·|b|.3．向量中的重要不等式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇔－x21＋y21·x22＋y22≤x1x2＋y1y2≤x21＋y21·x22＋y22.(二)二级结论要用好1．三点共线的判定(1)A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线．(2)向量PA→，PB→，PC→中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得PA→＝αPB→＋βPC→，且α＋β＝1.[针对练1]在▱ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若EF→＝mAB→＋nAD→(m，n∈R)，则mn＝________.解析：如图，∵AD→＝2AE→，EF→＝mAB→＋nAD→，∴AF→＝AE→＋EF→＝mAB→＋(2n＋1)AE→，∵F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴mn＝－2.答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为x1＋x22，y1＋y22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，