（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题一 小题考法课二 三角函数的图象与性质课件

小题考法课二三角函数的图象与性质考点(一)三角函数的图象及应用[考查趋向]主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2上单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|(2)已知函数g(x)＝sin2x－cos2x，如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)的图象()A．向左平移π6个单位长度B．向左平移π3个单位长度C．向右平移π6个单位长度D．向右平移π3个单位长度(3)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C.2D．2[解析](1)作出函数f(x)＝|cos2x|的图象如图所示．由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，故选A.(2)设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知A＝1，T＝11π12－π6×43＝π＝2πω，所以ω＝2.因为fπ6＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝π6，f(x)＝sin2x＋π6.将g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x＝sin2x－π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为y＝sin2x＋π3－π2＝sin2x＋π6.故选B.(3)因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin12ωx，且g(x)的最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以gπ4＝Asinπ4＝22A＝2，解得A＝2.所以f(x)＝2sin2x，所以f3π8＝2.[答案](1)A(2)B(3)C[学技法——融会贯通]1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法字母确定途径说明A由最值确定A＝最大值－最小值2B由最值确定B＝最大值＋最小值2ω由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为14个周期，ω＝2πTφ由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[对点练——触类旁通]1．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(x∈R，ω0)与g(x)＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h(x)＝cosωx＋π3的图象，只需将y＝f(x)的图象()A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π2个单位长度D．向右平移π2个单位长度解析：选A函数f(x)＝sinωx＋π3与g(x)＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同，则ω＝2，且f(x)＝sin2x＋π3，又h(x)＝cos2x＋π3＝sin2x＋π3＋π2＝sin2x＋5π6，把f(x)＝sin2x＋π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y＝sin2x＋π4＋π3＝sin2x＋5π6＝h(x)的图象．2．(2019·金华十校期末)把函数f(x)＝2cos2x－π4的图象向左平移m(m＞0)个单位，得到函数g(x)＝2sin2x－π3的图象，则m的最小值是()A.7π24B.17π24C.5π24D.19π24解析：选B把函数f(x)＝2cos2x－π4的图象向左平移m(m＞0)个单位，得到g(x)＝2cos2x＋m－π4＝2cos2x＋2m－π4的图象，而g(x)＝2sin2x－π3＝2cosπ2－2x－π3＝2cos5π6－2x＝2cos2x－5π6.令2m－π4＝－5π6＋2kπ(k∈Z)，得m＝－7π24＋kπ(k∈Z)，因为m＞0，所以当k＝1时，m的值最小，此时m＝π－7π24＝17π24.故选B.3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－πφ0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g(x)＝Acosωx的图象，需将函数y＝f(x)的图象最少向左平移________个单位长度．解析：由图象可得A＝2，∵T2＝π3－－π6＝π2，∴T＝π，ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)，将π3，2代入得sin2π3＋φ＝1，∵－πφ0，∴φ＝－π6，f(x)＝2sin2x－π6.∵fx＋π3＝2sin2x＋π3－π6＝2cos2x＝g(x)，∴可将函数y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到g(x)的图象，故答案为－π6，π3.答案：－π6π34.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.解析：由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋kπ，k∈Z，∵0φπ，则φ＝π2，∴f(x)＝3cosπ2x＋π2，∴f(1)＝－3.答案：－3考点(二)三角函数的性质及应用[考查趋向]主要考查三角函数的奇偶性及对称性、周期性或求函数的单调区间，以及根据函数的单调性、奇偶性、周期性等求参数或取值范围.[试典题——考点悟通][典例](1)函数f(x)＝sinπx＋π2，x∈[－1,1]，则()A．f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递减B．f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递增C．f(x)为奇函数，且在[－1,0]上单调递增D．f(x)为奇函数，且在[－1,0]上单调递减(2)已知函数f(x)＝sinxcos2x，则下列关于函数f(x)的结论中，错误的是()A．最大值为1B．图象关于直线x＝－π2对称C．既是奇函数又是周期函数D．图象关于点3π4，0中心对称(3)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5[解析](1)∵函数f(x)＝sinπx＋π2＝cosπx，故函数f(x)为偶函数，故排除C、D.当x∈[0,1]时，πx∈[0，π]，函数y＝cosπx是减函数，故排除B，选A.(2)∵函数f(x)＝sinxcos2x，当x＝3π2时，f(x)取得最大值为1，故A正确；当x＝－π2时，函数f(x)＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x＝－π2对称；故B正确；函数f(x)满足f(－x)＝sin(－x)cos(－2x)＝－sinxcos2x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，再根据f(x＋2π)＝sin(x＋2π)cos[2(x＋2π)]＝sinxcos2x，故f(x)的周期为2π，故C正确；由于f3π2－x＋f(x)＝－cosx·cos(3π－2x)＋sinxcos2x＝cosxcos2x＋sinxcos2x＝cos2x(sinx＋cosx)＝0不一定成立，故f(x)图象不一定关于点3π4，0中心对称，故D不正确，故选D.(3)由题意得－π4ω＋φ＝k1π，k1∈Z，π4ω＋φ＝k2π＋π2，k2∈Z，且|φ|≤π2，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f(x)＝sin11x－π4，f(x)在区间π18，3π44上单调递增，在区间3π44，5π36上单调递减，不满足f(x)在区间π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f(x)＝sin9x＋π4，满足f(x)在区间π18，5π36上单调递减，故选B.[答案](1)A(2)D(3)B[学技法——融会贯通]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tanωx＋φ的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[对点练——触类旁通]1．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sinωx＋π5(ω0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在0，π10单调递增；④ω的取值范围是125，2910.其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④解析：选D已知f(x)＝sinωx＋π5(ω0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈π5，2πω＋π5，由f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π56π，得ω的取值范围是125，2910，所以④正确；当x∈0，π10时，π5ωx＋π5πω10＋π549π100π2，所以f(x)在0，π10单调递增，所以③正确．综上可知，所有正确结论的编号是①③④.2．已知函数f(x)＝sinωx－π6＋12，ω0，x∈R，且f(α)＝－12，f(β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f(x)的单调递增区间为________．解析：由f(α)＝－12，f(β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T4＝3π4，即T＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f(x)＝sin23x－π6＋12.由－π2＋2kπ≤23x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π2＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为[－π2＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z.答案：[－π2＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z3．已知函数f(x)＝2