（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题一 大题考法课 三角函数、解三角形课件

大题考法课三角函数、解三角形题型(一)三角函数的图象与性质[考查趋向]主要考查三角函数的对称性、奇偶性、周期性、单调性、最值问题等.常结合三角恒等变换与图象变换考查.[试典题——考点悟通][典例1](2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．[解](1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y＝fx＋π122＋fx＋π42＝sin2x＋π12＋sin2x＋π4＝1－cos2x＋π62＋1－cos2x＋π22＝1－1232cos2x－32sin2x＝1－32cos2x＋π3.因此，所求函数的值域是1－32，1＋32.[备课札记][学技法——融会贯通]求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω0，则最好用诱导公式将其转化为－ω0后再去求解，否则极易出错．(2)对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期．[对点练——触类旁通]1．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由题意，f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－232sin2x＋12cos2x＝－2sin2x＋π6，故f2π3＝－2sin4π3＋π6＝－2sin3π2＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2sin2x＋π6.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．2．已知函数f(x)＝12sinωx＋32cosωx＋c(ω0，x∈R，c为常数)的图象经过点π3，32，且相邻两个最低点的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0，π]的最大值与最小值．解：(1)∵f(x)＝12sinωx＋32cosωx＋c＝sinωx＋π3＋c，且相邻两个最低点的距离为π，∴ω＝2，又函数f(x)的图象经过点π3，32，∴sin2×π3＋π3＋c＝32，∴c＝32，∴f(x)＝sin2x＋π3＋32.(2)∵函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝sin2x－π3＋π3＋32＝sin2x－π3＋32，∵x∈[0，π]，∴2x－π3∈－π3，5π3，∴sin2x－π3∈－32，1，∴g(x)的最大值为1＋32，最小值为0.题型(二)三角形基本量的求解问题[考查趋向]主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小或三角函数值，且常与三角恒等变换综合考查.[试典题——考点悟通][典例2](2019·浙江十校联考)已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，其中a＝2，c＝3.(1)若角A为锐角，且sinC＝33，求sinB的值；(2)设f(C)＝3sinCcosC＋3cos2C，求f(C)的取值范围．[解](1)由正弦定理，得asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝23，∵sinC＜sinA，且A为锐角，∴cosC＝63，cosA＝53，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝26＋159.(2)f(C)＝32sin2C＋3×1＋cos2C2＝312sin2C＋32cos2C＋32＝3sin2C＋π3＋32，∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝141b＋b≥12，∴C∈0，π3，∴2C＋π3∈π3，π，∴sin2C＋π3∈[0,1]，∴f(C)∈32，32＋3.[备课札记][学技法——融会贯通]利用正、余弦定理求解三角形基本量的方法[对点练——触类旁通]3．(2019·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝2，cosB＝23，求c的值；(2)若sinAa＝cosB2b，求sinB＋π2的值．解：(1)因为a＝3c，b＝2，cosB＝23，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac，即23＝3c2＋c2－222×3c×c，解得c2＝13，所以c＝33.(2)因为sinAa＝cosB2b，由正弦定理asinA＝bsinB，得cosB2b＝sinBb，所以cosB＝2sinB.从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝45.因为sinB0，所以cosB＝2sinB0，所以cosB＝255.所以sinB＋π2＝cosB＝255.4．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5.题型(三)与三角形面积有关的问题[考查趋向]主要考查三角形面积的计算或已知三角形的面积求边或角，涉及正、余弦定理及三角形面积公式.[试典题——考点悟通][典例3](2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.结合A＋C＝120°，得30°C90°，所以12a2，从而38S△ABC32.因此△ABC面积的取值范围是38，32.[备课札记][学技法——融会贯通]求解与三角形面积有关问题的步骤[对点练——触类旁通]5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bc＝455，A＋3C＝π.(1)求cosC的值；(2)若b＝5，求△ABC的面积．解：(1)∵A＋B＋C＝π，A＋3C＝π，∴B＝2C.由bc＝sinBsinC，得455＝2sinCcosCsinC，化简得cosC＝255.(2)∵C∈(0，π)，∴sinC＝1－cos2C＝1－45＝55.∵B＝2C，∴cosB＝cos2C＝2cos2C－1＝2×45－1＝35，∴sinB＝45.∵A＋B＋C＝π，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝45×255＋35×55＝11525.∵bc＝455，b＝5，∴c＝54.∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×5×54×11525＝118.6．(2019·金华一中月考)△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，sinA＝3sinC.(1)若B＝π3，求tanA的值；(2)若△ABC的面积S满足S＝b2tanB，求cosA的值．解：(1)∵C＝π－A－B＝2π3－A，∴sinA＝3sin2π3－A＝332cosA＋12sinA，∴(2－3)sinA＝3cosA，解得tanA＝6＋33.(2)S＝12acsinB＝b2sinBcosB，∵sinB≠0，∴accosB＝2b2，由余弦定理得aca2＋c2－b22ac＝2b2，即a2＋c2＝5b2，∵sinA＝3sinC，∴由正弦定理得a＝3c，即a2＝3c2，∴b2＝45c2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝45c2＋c2－3c2225c2＝－3510.题型(四)三角函数与解三角形综合问题[考查趋向]此类问题综合考查三角恒等变换、三角函数的性质与解三角形等问题.[试典题——考点悟通][典例4](2019·镇海中学高三模拟)已知三角形ABC中，cos(A＋B)＝15，cos(A－B)＝35.(1)求tanA·tanB的值；(2)若|AB|＝26，求三角形ABC的面积S.[解](1)由cos(A＋B)＝15，cos(A－B)＝35，得cosAcosB－sinAsinB＝15，cosAcosB＋sinAsinB＝35，解得cosAcosB＝25，sinAsinB＝15，则tanA·tanB＝sinAsinBcosAcosB＝12.(2)由cos(A＋B)＝15，得sin(A＋B)＝265，tan(A＋B)＝26，∴tanA＋tanB＝6，tanAtanB＝12，设△ABC边AB上的高为h，则htanA＋htanB＝26，∴h＝1，∴S＝12|AB|h＝6.[备课札记][学技法——融会贯通]三角函数与解三角形的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．[对点练——触类旁通]7．已知f(x)＝cosxsinx－π6＋1.(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝54，sinAsinC＝sin2B，求a－c的值．解：f(x)＝cosxsinx－π6＋1＝cosx32sinx－12cosx＋1＝34sin2x－12×1＋cos2x2＋1＝34sin2x－14cos2x＋34＝12sin2x－π6＋34.(1)由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是0，π3和5π