（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题四 小题考法课二 圆锥曲线的方程与性质课件

小题考法课二圆锥曲线的方程与性质考点(一)圆锥曲线的定义与标准方程[考查趋向]主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.[试典题——考点悟通][典例](1)过双曲线x216－y29＝1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是()A．12B．14C．22D．28(2)(2019·浙江高考)已知椭圆x29＋y25＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．[解析](1)由双曲线的定义得|AF2|＝|AF1|＋8，|BF2|＝|BF1|＋8，故△ABF2的周长为|AF1|＋8＋|BF1|＋8＋|AB|＝16＋2|AB|＝28，故选D.(2)法一：依题意，设点P(m，n)(n0)，由题意知F(－2,0)，所以线段FP的中点M－2＋m2，n2在圆x2＋y2＝4上，所以－2＋m22＋n22＝4.①又点P(m，n)在椭圆x29＋y25＝1上，所以m29＋n25＝1.②联立①②，消去n，得4m2－36m－63＝0，所以m＝－32或m＝212(舍去)，n＝152，所以kPF＝152－0－32－－2＝15.法二：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2.因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝22－122＝152，所以kPF＝tan∠HFO＝15212＝15.[答案](1)D(2)15[学技法——融会贯通]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．[注意]应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．2．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0)．[对点练——触类旁通]1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A.x24－y216＝1B.x216－y24＝1C.x216－y264＝1D.x264－y216＝1解析：选A易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得ba＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x24－y216＝1.2．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.解析：法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x0，y0)，则x0＝±233，代入x2＝4y中，得y0＝13，所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝43.法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝2cos30°＝433，∴|PF|＝|AF|3＝43.答案：43考点(二)圆锥曲线的几何性质[考查趋向]主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线的有关性质.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.22B．1C.2D．2(2)已知双曲线x29－y2m＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±34xB．y＝±43xC．y＝±223xD．y＝±324x(3)已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝bax交椭圆于A，B两点，若cos∠AFB＝13，则椭圆的离心率是________．[解析](1)不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝2.故选C.(2)由题易知m＞0，双曲线x29－y2m＝1的右焦点为(9＋m，0)且在圆x2＋y2－4x－5＝0上，∴(9＋m)2－49＋m－5＝0，∴9＋m＝5，∴m＝16，∴双曲线方程为x29－y216＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±43x.(3)令A在第三象限，B在第一象限，将直线方程代入椭圆方程，求得A－22a，－22b，B22a，22b，故|AB|＝2a·12＋ba2.在△ABF中运用面积公式得12·|AF|·|BF|·sin∠AFB＝12·|OF|·|yA－yB|，①再运用余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|·cos∠AFB，②联立①②解得e＝ca＝255.[答案](1)C(2)B(3)255[学技法——融会贯通]1．椭圆、双曲线的离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点练——触类旁通]1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.3或233D.233或2解析：选D∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴ba＝tan30°＝33或ba＝tan60°＝3.由ba＝33，得b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝13，∴e＝233(舍负)；由ba＝3，得b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D.2．(2018·北京高考)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，双曲线N：x2m2－y2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．解析：法一：如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，∴nm＝tan60°＝3，∴双曲线N的离心率e1满足e21＝1＋n2m2＝4，∴e1＝2.由y＝3x，x2a2＋y2b2＝1，得x2＝a2b23a2＋b2.设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴4a2b23a2＋b2＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－6b2a2－b2a22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M的离心率e22＝1－b2a2＝4－23.∴e2＝3－1.法二：∵双曲线N的渐近线方程为y＝±nmx，则nm＝tan60°＝3.又c1＝m2＋n2＝2m，∴双曲线N的离心率为c1m＝2.如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a，a＝1＋32.∴椭圆M的离心率为c2a＝21＋3＝3－1.答案：3－123．(2019·浙南名校联盟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F.若抛物线上存在点A，使得线段AF的中点的横坐标为1，则|AF|＝________.解析：由题意得抛物线的焦点为Fp2，0，准线为x＝－p2，因为线段AF的中点得横坐标为1，所以xA＝2－p2，过点A作抛物线的准线的垂线，设垂足为点B，则易得|AF|＝|AB|＝xA－－p2＝2－p2－－p2＝2.答案：2考点(三)圆锥曲线与圆、直线的综合问题[考查趋向]主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.[试典题——考点悟通][典例](1)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)D．(－2,0)(2)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1(mn0)的一条渐近线与圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，则C的离心率为()A.53B.54C.53或2516D.53或54[解析](1)因为直线与圆相切，所以|t＋1|1＋k2＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t0，解得t0或t－3.故选A.(2)圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1，则圆心为M(3,1)，半径r＝1.当m0，n0时，由mx2＋ny2＝1得y21n－x2－1m＝1，则双曲线的焦点在y轴上，不妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为y＝abx，即ax－by＝0，则圆心到直线的距离d＝|3a－b|a2＋b2＝1，即|3a－b|＝c，平方得9a2－6ab＋b2＝c2＝a2＋b2，即8a2－6ab＝0，则b＝43a，平方得b2＝169a2＝c2－a2，即c2＝259a2，则c＝53a，离心率e＝ca＝53；当m0，n0时，同理可得e＝54，故选D.[答案](1)A(2)D[学技法——融会贯通]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[对点练——触类旁通]1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为()A.43B.53C．2D．3解析：选B取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝12·|PF1|＝a＋c，则在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为53.2．(2019·宁波高三期末)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e的取值范围为13，12，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，O是坐标原点，且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是()A．[7，8]B．[6，7]C．[5，6]D．[8，9]解析：选C联立y＝－x＋1，x2a2＋y2b2＝1消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2a2a2＋b2，x1x2＝a21－b2a2＋b2，由OM⊥ON，得x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0，化简得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，∴2a21－b2a2＋b2－2a2a2＋b2＋1＝0，化简得b2＝a22a2－1，∵e＝ca＝1－b2a2，∴e2＝1－b2a2，∵e∈13，12，∴e2