（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第一课时 解三角形的

预习课本P11～16，思考并完成以下问题(1)方向角和方位角各是什么样的角？(2)怎样测量物体的高度？(3)怎样测量物体所在的角度？第一课时解三角形的实际应用举例1.2应用举例一、预习教材·问题导入实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线方时l与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线方时与水平线的夹角上下二、归纳总结·核心必记名称定义图示方向角从指定方向线到___________的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)方位角从正北的方向线按___时针到目标方向线所转过的水平角南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)目标方向线顺1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)方位角和方向角是一样的()解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．×××三、基本技能·素养培优2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的()A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上解析：选C如图所示．3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.4．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为()A.2akmB.3akmC．akmD．2akm解析：选A△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝2a.[典例]如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D．现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．考点一测量高度问题[解]在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD．∴BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·sinβtanθsinα＋β．测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．[类题通法]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m解析：选A如图，设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos60°，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50m．[针对训练]2．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m．解析：因为∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°．在△ABS中，AB＝AS·sin135°sin30°＝1000×2212＝10002，所以BC＝AB·sin45°＝10002×22＝1000(m)．答案：1000[典例]如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？考点二测量角度问题[解]由题意，知AB＝5(3＋3)nmile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°．在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB＝ABsin∠ADB，即BD＝ABsin∠DABsin∠ADB＝53＋3sin45°sin105°＝53＋3sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝103nmile．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝30nmile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1h．测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．[类题通法]在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，[针对训练]∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22，∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°．即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．考点三测量距离问题[典例]如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2abcosα.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．[解]在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝2007(m)．即A，B两点间的距离为2007m.当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2abcosγ．(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB．[类题通法](3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB．1．如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB．若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m．[针对训练]解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝206(m)．即A，B两点间的距离为206m．答案：2062．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ．在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32．在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38．∴AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64km．