（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.5 绝对值不等式课件 新人教A版必修

预习课本，思考并完成以下问题3.5绝对值不等式(1)什么是绝对值三角不等式？它的几何意义是什么？(2)怎样求解形如|x|＜a型、|x|＞a型、|ax＋b|≤c型、|ax＋b|≥c型、|x－a|＋|x－b|≤c型、|x－a|＋|x－b|≥c型的不等式？(3)怎样利用分类讨论求解含参数的绝对值不等式？一、预习教材·问题导入1．绝对值三角不等式(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到的距离．(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．(3)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当时，等号成立．原点ab≥0二、归纳总结·核心必记几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b||a|＋|b|，其几何意义为：___________________________②若a，b共线，当a与b时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b____时，|a＋b||a|＋|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(4)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当时，等号成立．三角形的两边之和大于第三边．同向反向(a－b)(b－c)≥0[提醒]绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．2．含绝对值的不等式解法(1)形如|x|＜a型与|x|＞a型不等式的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a____________∅∅|x|＞a_______________{x|x≠0}___(2)形如|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔；②|ax＋b|≥c⇔或.{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}－c≤ax＋b≤cax＋b≥cax＋b≤－cR(3)形如|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的求解．②以绝对值的为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．③构造函数，结合求解．几何意义零点函数的图象[提醒](1)|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．(2)形如|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0()(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0()(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立()√×√三、基本技能·素养培优2．不等式|2x＋1|＞3的解集为()A．(－1,2)B．(－∞，－1)∪(2,＋∞)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－2,1)答案：C答案：A3．不等式|2x－1|＋|x＋1|＞2的解集为()A．(－∞，0)∪23，＋∞B．23，＋∞C．(－∞，－1)∪23，＋∞D．(－∞，0)4．若存在实数x，使不等式|x－a|＋|x－1|≤3能成立，则实数a的取值范围是________．答案：[－2,4][典例](1)设ab＜0，a，b∈R，则下列不等式正确的是()A．|a＋b|＞|a－b|B．|a－b|＜|a|＋|b|C．|a＋b|＜|a－b|D．|a－b|＜||a|－|b||考点一绝对值三角不等式定理的应用(2)以下四个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③若|x|＜2，|y|＞3，则xy＜23；④若AB≠0，则lg|A|＋|B|2≥12(lg|A|＋lg|B|)．其中正确的命题有()A．4个B．3个C．2个D．1个[解析](1)法一：取a＝1，b＝－2，则满足ab＝－2＜0，这样有|a＋b|＝|1－2|＝1，|a－b|＝|1－(－2)|＝3，|a|＋|b|＝1＋2＝3，||a|－|b||＝|1－2|＝1，∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．故选C.法二：由ab＜0得a，b异号，易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，∴选项C成立，A、B、D均不成立．故选C.(2)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；|y|＞3，∴1|y|＜13.又∵|x|＜2，∴|x||y|＜23，③正确；|A|＋|B|22＝14(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)≥14(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg|A|＋|B|2≥lg|A||B|.∴lg|A|＋|B|2≥12(lg|A|＋lg|B|)，④正确．故选A.[答案](1)C(2)A应用绝对值三角不等式定理的三个注意点(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时．(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|.[类题通法]1．已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系是()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≤n解析：选D∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，∴m＝|a|－|b||a－b|≤|a－b||a－b|＝1，n＝|a|＋|b||a＋b|≥|a|＋|b||a|＋|b|＝1，∴m≤1≤n.故选D.[针对训练]2．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：法一：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5.法二：∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5.答案：5[解析](1)|x－3|＜1⇔－1＜x－3＜1⇔2＜x＜4，故不等式|x－3|＜1的解集为(2,4)．[答案](2,4)[典例](1)设x∈R，则不等式|x－3|＜1的解集为_______．(2)解关于x的不等式：|x－1|＋|x＋2|≥5.考点二含绝对值的不等式的解法(2)解：[法一不等式的几何意义法]如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[法二零点分段法]原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔x≤－2，－x－1－x＋2≥5或－2＜x＜1，－x－1＋x＋2≥5，或x≥1，x－1＋x＋2≥5，解得x≤－3或x≥2，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[法三构造函数法]将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝－2x－6，x≤－2，－2，－2＜x＜1，2x－4，x≥1.作出函数的图象，如图所示．由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁；若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．[类题通法]解：(1)当x＞12时，原不等式等价于2x－1＋3x＋2＜11，即12＜x＜2；当－23≤x≤12时，原不等式等价于1－2x＋3x＋2＜11，即－23≤x≤12；当x＜－23时，原不等式等价于1－2x－3x－2＜11，即－125＜x＜－23.解关于x的不等式：(1)|2x－1|＋|3x＋2|＜11；(2)|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1.[针对训练]所以，原不等式的解集为x－125＜x＜2.(2)①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1，解得x＜10，∴x＜－3.②当－3≤x＜12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1，解得x＜－25，∴－3≤x＜－25.③当x≥12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜x2＋1，解得x＞2，∴x＞2.综上可知，原不等式的解集为xx＜－25或x＞2.[典例]已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.求|a|＋|b|的最大值．[解]|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋1≤2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.而当a＋b＋1＝1，a＋2b＋4＝－4，即a＝8，b＝－8时，|a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16.考点三利用绝对值三角不等式求最值求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：①借助绝对值的定义，即零点分段；②利用绝对值几何意义；③利用绝对值不等式性质定理．[类题通法]1．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.[针对训练]2．求函数y＝|x－4|－|x＋3|的最大值和最小值．解：法一：∵||x－4|－|x＋3||≤|x－4－(x＋3)|＝7，∴－7≤|x－4|－|x＋3|≤7，∴ymax＝7，ymin＝－7.法二：把函数看作分段函数y＝|x－4|－|x＋3|＝－7，x＞4，1－2x，－3＜x＜4，7，x＜－3.∴－7≤y≤7.∴ymax＝7，ymin＝－7.[典例]已知不等式|x＋1|－|x－3|a.(1)若不等式有解，则实数a的取值范围为________；(2)若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为_______．[解析]因为|x＋1|－|x－3