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预习课本P87～91，思考并完成以下问题3．3.2简单的线性规划问题(1)约束条件，目标函数，可行解，线性规划问题是如何定义的？(2)如何求解线性目标函数的最值问题？一、预习教材·问题导入线性规划的有关概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求______或______所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数关于x，y的二元一次解析式可行解满足____________的解(x，y)可行域所有______组成的集合最优解使目标函数取得______或______的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题二元一次最大值最小值线性约束条件可行解最大值最小值二、归纳总结·核心必记[提醒](1)线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解()(4)线性规划问题一定存在最优解()√×××三、基本技能·素养培优2．已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1，x－y≤1，x＋1≥0，则z＝x＋2y的最小值为()A．3B．1C．－5D．－6解析：选C由约束条件作出可行域如图：由z＝x＋2y得y＝－12x＋z2，z2的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－12x＋z2过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.3．已知实数x，y满足y≤2，y≥|x＋1|，若可行域内存在点使得x＋2y－a＝0成立，则a的最大值为()A．－1B．1C．4D．5解析：选D作出不等式对应的可行域如图所示，由x＋2y－a＝0可得y＝－12x＋a2，平移直线y＝－12x＋a2，当直线y＝－12x＋a2经过点A时，直线y＝－12x＋a2的截距最大，此时a最大，由y＝2，y＝x＋1，解得x＝1，y＝2，故A(1,2)，此时a的最大值是a＝x＋2y＝1＋2×2＝5.4．已知实数x，y满足条件x＋y－3≥0，x－y－3≤0，y≤2，则xx＋y的取值范围是________．解析：由约束条件x＋y－3≥0，x－y－3≤0，y≤2，作出可行域如图所示，所以yx即是可行域内的点与原点连线的斜率，故可得yx∈[0,2]，所以xx＋y＝11＋yx∈13，1.答案：13，1[典例]设z＝2x＋y，变量x，y满足条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z的最大值和最小值．考点一求线性目标函数的最大(小)值[解]作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．解方程组x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，得A点坐标为(5,2)，解方程组x＝1，x－4y＋3＝0，得B点坐标为(1,1)，∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3.解线性规划问题的基本步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(3)求：通过解方程组求出最优解．(4)答：根据所求得的最优解得出答案．[类题通法][针对训练]1．(2019·浙江高考)若实数x，y满足约束条件x－3y＋4≥0，3x－y－4≤0，x＋y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1B．1C．10D．12解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－32x，平移该直线，当直线经过点A时，z＝3x＋2y取得最大值．联立x－3y＋4＝0，3x－y－4＝0，解得x＝2，y＝2，所以zmax＝3×2＋2×2＝10.2．若实数x，y满足不等式组x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－a≥0，目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是()A．0B．1C．2D．3解析：选C作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝12x－12t在点2，a－22处取得最大值，即tmax＝2－2×a－22＝4－a＝2，得a＝2，故选C.题点一：距离型最值1．设x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.求u＝x2＋y2的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域如图所示，x2＋y2＝u(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大．取(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.考点二求非线性目标函数的最值题点二：斜率型最值2．在题点一的条件下，求v＝yx－5的最大值与最小值．解：v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝－33－5＝32，vmin＝83－5＝－4.非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．[类题通法]产品A(件)产品B(件)研制成本、搭载费用之和(万元)2030计划最大投资金额300万元产品质量(千克)105最大搭载质量110千克预计收益(万元)8060[典例]某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：考点三线性规划的实际应用试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？[解]设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条件为20x＋30y≤300，10x＋5y≤110，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，即2x＋3y≤30，2x＋y≤22，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解2x＋3y＝30，2x＋y＝22，得M(9,4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．(1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．③结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．[类题通法](2)寻找整点最优解的两个方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A．甲7件，乙3件B．甲9件，乙2件C．甲4件，乙5件D．甲2件，乙6件[针对训练]解析：选D设甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为4x＋7y≤50，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－59x＋5z9，斜率为－59－47，所以，由图可知直线过点A0，507时，z取得最大值．又x，y∈N，所以点A不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值，故选D.