（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性

3．3．1二元一次不等式(组)与平面区域预习课本P82～86，思考并完成以下问题(1)二元一次不等式是如何定义的？(2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？(3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题一、预习教材·问题导入1．二元一次不等式含有未知数，并且未知数的次数是的不等式称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组由组成的不等式组称为二元一次不等式组．3．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．两个1几个二元一次不等式有序数对(x，y)有序数对(x，y)二、归纳总结·核心必记4．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_____以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成．5．二元一次不等式表示的平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．Ax＋By＋C＝0虚线实线相同Ax0＋By0＋C[提醒]确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0)．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式2x－10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域()(2)点(1,2)不在不等式2x＋y－10表示的平面区域内()(3)不等式Ax＋By＋C0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的()(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式()(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域()三、基本技能·素养培优解析：(1)错误．不等式2x－10不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x＝12的右侧(不包括边界)．(2)错误．把点(1,2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝30，所以点(1,2)在不等式2x＋y－10表示的平面区域内．(3)错误．不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如2x＋y－1≥0，3x＋20也称为二元一次不等式组．(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是()解析：选C原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.3．在不等式2x＋y－60表示的平面区域内的点是()A．(0,7)B．(5,0)C．(0,1)D．(2,3)解析：选C对于点(0,1)，代入上述不等式2×0＋0×1－60成立，故此点在不等式2x＋y－60表示的平面区域内，故选C.4．已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．解析：因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)0，解得m－12.答案：mm－12[典例]画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)2x－y－6≥0；(2)x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域[解](1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0,0)代入2x－y－6中，∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判定.[类题通法]若关于x，y的不等式组x≤0，x＋2y≥0，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选B如图，易知直线kx－y＋1＝0经过定点A(0,1)，又知道关于x，y的不等式组x≤0，x＋2y≥0，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，且k0，所以k·－12＝－1，解得k＝2，故选B.[针对训练][典例]不等式组y≤x，x＋2y≤4，y≥－2表示的平面区域的面积为()A.503B.253C.1003D.103考点二二元一次不等式(组)表示平面区域的面积[解析]作出不等式组y≤x，x＋2y≤4，y≥－2表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A的坐标为43，43，点B的坐标为(－2，－2)，点C的坐标为(8，－2)，所以△ABC的面积是12×[8－(－2)]×43－－2＝503.[答案]A求平面区域的面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．[类题通法]解析：选C作出平面区域如图所示为△ABC，由x＋3y－4＝0，3x＋y－4＝0，可得A(1,1)，又B(0,4)，C0，43，∴S△ABC＝12·|BC|·|xA|＝12×4－43×1＝43，故选C.不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34[针对训练][典例]某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个零件A,2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A,8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个，B零件最多12000个．用数学关系式和图形表示上述要求．考点三用二元一次不等式组表示实际问题[解]设分别生产P，Q产品x件，y件，依题意则有4x＋6y≤14000，2x＋8y≤12000，0≤x≤2500，x∈N，0≤y≤1200，y∈N.用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．用二元一次不等式组表示实际问题的方法(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式．(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．[类题通法]某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1h和2h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3h和1h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8h和9h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．[针对训练]解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为：x＋2y≤8，3x＋y≤9，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．