（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时

第一课时一元二次不等式及其解法预习课本P76～78，思考并完成以下问题(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？(2)如何求解一元二次不等式？(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？3.2一元二次不等式及其解法一、预习教材·问题导入1．一元二次不等式我们把只含有未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的，叫做这个一元二次不等式的，其解的，称为这个一元二次不等式的．一个最高次数是2x的值解集合解集二、归纳总结·核心必记3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0)的解集__________RΔ＝b2－4acax2＋bx＋c0(a0)的解集__________∅x|xx1或xx2}x|x≠－b2ax|x1xx2∅1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式()(2)若a0，则一元二次不等式ax2＋10无解()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}()(4)不等式x2－2x＋30的解集为R()三、基本技能·素养培优解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)错误．因为a0，所以不等式ax2＋10恒成立，即原不等式的解集为R．(3)错误．当a0时，ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}，否则不成立．(4)正确．因为Δ＝(－2)2－120，所以不等式x2－2x＋30的解集为R．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．不等式x(2－x)＞0的解集为()A．{x|x＞0}B．{x|x＜2}C．{x|x＞2或x＜0}D．{x|0＜x＜2}解析：选D原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2．3．不等式x2－2x－52x的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1}B．{x|x5或x－1}C．{x|－1x5}D．{x|－1≤x≤5}解析：选B由x2－2x－52x，得x2－4x－50，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－50的解集为{x|x－1或x5}．4．不等式－3x2＋5x－40的解集为________．解析：原不等式变形为3x2－5x＋40．因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－230，所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋40的解集为∅．答案：∅[典例]解下列不等式：(1)2x2＋5x－30；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋10；(4)－x2＋6x－100．考点一一元二次不等式解法[解](1)Δ＝490，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝12，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为x－3x12．(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0．Δ＝120，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝3－33，x2＝3＋33，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为xx≤3－33或x≥3＋33．(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－12．作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为xx≠－12，x∈R．(4)原不等式可化为x2－6x＋100，∵Δ＝－40，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅．解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.[类题通法]已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}C．{x|x≤－2或x＞3}D．{x|x＜－2或x≥3}解析：选A∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．[针对训练][典例](1)若不等式ax2＋bx＋20的解集是x－12x13，则a＋b的值为()A．14B．－10C．10D．－14(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为x－12＜x＜13，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．考点二三个“二次”关系的应用[解析](1)由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－12，13，且a0．∴－ba＝－12＋13，2a＝－12×13，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14．[答案]D(2)解：因为x2＋px＋q＜0的解集为x－12＜x＜13，所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得13－12＝－p，13×－12＝q，解得p＝16，q＝－16.所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－16x2＋16x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3．即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．[类题通法]解析：选C因为不等式的解集为(－2,1)，所以a0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B．1．若不等式f(x)＝ax2－x－c0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(x)的图象为()[针对训练]2．已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，求不等式cx2－bx＋a0的解集．解：由题意知2＋3＝－ba，2×3＝ca，a0，即b＝－5a，c＝6a，a0.代入不等式cx2－bx＋a0，得6ax2＋5ax＋a0(a0)．即6x2＋5x＋10，解得－12x－13，所以所求不等式的解集为x－12x－13．[典例]解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0．[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．考点三解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式时的注意点(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[类题通法]解：(1)当a＝0时，不等式可化为x－20，解得x2，即原不等式的解集为{x|x2}．(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－1a．①当a－12时，解不等式得－1ax2，即原不等式的解集为x－1ax2；设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－20．[针对训练]②当a＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12a0时，解不等式得2x－1a，即原不等式的解集为x2x－1a；④当a0时，解不等式得x－1a或x2，即原不等式的解集为xx－1a或x2．