（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时

第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)[典例]解下列不等式：(1)x＋23－x≥0；(2)2x－13－4x1．[解](1)原不等式等价于x＋23－x≥0，3－x≠0，即x＋2x－3≤0，x≠3⇒－2≤x3．考点一解简单的分式不等式∴原不等式的解集为{x|－2≤x3}．(2)原不等式可化为2x－13－4x－10，即3x－24x－30．等价于(3x－2)(4x－3)0．∴23x34．∴原不等式的解集为x23x34．(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．(2)分式不等式的4种形式及解题思路①fxgx0⇔f(x)g(x)0；②fxgx0⇔f(x)g(x)0；③fxgx≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0；④fxgx≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0．[类题通法](3)不等式与不等式组的同解关系①f(x)g(x)≥0⇔fx≥0，gx≥0或fx≤0，gx≤0，②f(x)g(x)≤0⇔fx≥0，gx≤0或fx≤0，gx≥0，③f(x)g(x)0⇔fx0，gx0或fx0，gx0，④f(x)g(x)0⇔fx0，gx0或fx0，gx0.1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，则A∩B＝()A．{x|－1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}解析：选B∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．[针对训练]2．已知关于x的不等式ax＋b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax－bx－20的解集是()A．x|x＜－1或x＞2B．x|－1＜x＜2C．x|1＜x＜2D．x|x＞2解析：选A依题意，a0且－ba＝1．ax－bx－20⇔(ax－b)(x－2)0⇔x－ba(x－2)0，即(x＋1)(x－2)0⇒x2或x－1．[典例]已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．[解]由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4．故a的取值范围是(0,4)．考点二不等式中的恒成立问题(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max(f(x)存在最大值)；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min(f(x)存在最小值)．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方．[类题通法]1．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．解：若对任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a应该满足f－3＜0，f1＜0，即25－6a＜0，1＋2a＜0，[针对训练]解得a＞256，a＜－12.这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．2．已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，试求x的取值范围．解：原函数可化为g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次函数．要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需满足g1＜0，g－3＜0，即x2－2x＋4＜0，x2－10x＋4＜0.因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．[典例]某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1．2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应的提高比例为0．75x，同时预计年销售量增加的比例为0．6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？考点三一元二次不等式的实际应用[解](1)由题意，得y＝[1．2×(1＋0．75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0．6x)(0x1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0x1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当y－1.2－1×10000，0x1，即－60x2＋20x0，0x1，解不等式组，得0x13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为0，13．用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．[类题通法]某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为xm(0x600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m．根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m．[针对训练]