（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式课件 新人教A版

3.1不等关系与不等式预习课本P72～74，思考并完成以下问题(1)如何用不等式(组)来表示不等关系？(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？(3)不等式的性质有哪几条？一、预习教材·问题导入1．不等式的概念我们用数学符号“≠”、“”、“”、“≥”、“≤”连接_______或，以表示它们之间的不等关系．含有这些_____的式子叫做不等式．两个数代数式不等号2．比较两个实数a，b大小的依据文字语言符号表示如果ab，那么a－b是正数；如果ab，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然ab⇔ab⇔a＝b⇔a－b0a－b0a－b＝0二、归纳总结·核心必记[提醒]不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是指“ab和a＝b中有一个成立即可”．等价于“a不大于b”，即若ab和a＝b中有一个成立，则a≤b成立．3．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒；(3)可加性：ab⇒；推论(同向可加性)：abcd⇒；(4)可乘性：abc0⇒acbc；abc0⇒；推论(同向同正可乘性)：ab0cd0⇒；(5)正数乘方性：ab0⇒(n∈N*，n≥1)；(6)正数开方性：ab0⇒_______(n∈N*，n≥2)．aca＋cb＋ca＋cb＋cacbcacbdanbnnanb[提醒](1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2()(2)若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确()(3)若ab，则acbc一定成立()(4)若a＋cb＋d，则ab，cd()三、基本技能·素养培优解析：(1)正确．不等式x≥2表示x2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式a≤b表示ab或a＝b．故若ab或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由ab，则acbc不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋cb＋d，但不满足ab，故此说法错误．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．已知a＋b0，b0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A．ab－b－aB．a－b－abC．a－bb－aD．ab－a－b解析：选C法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a＝2，b＝－1，则有2－(－1)－1－2，即a－bb－a．法二：∵a＋b0，b0，∴a－b0，－ab0，∴a－b0b－a，即a－bb－a．3．设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．ab2a2bC．1ab21a2bD．baab解析：选C因为ab，故b－a0，所以1a2b－1ab2＝b－aa2b20，故1a2b1ab2．4．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________．解析：由题意得，A＝x2＋10x＋21，B＝x2＋10x＋24，所以A－B＝－30．答案：AB考点一用不等式(组)表示不等关系[典例]某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，则销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的单价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？[解]∵提价后杂志的定价为x元，∴销量减少x－2.50.1×0.2＝2x－5(万本)，∴销售总收入为[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(万元)．则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为：(13－2x)·x≥20.1．将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．(3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.[类题通法]1．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4．5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4．5倍小于雷电的温度，即4．5t28000．答案：4．5t28000[针对训练]2．某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格(以班级为单位)：学段硬件建设(万元)配备教师数教师年薪(万元)初中26/班2/班2/人高中54/班3/班2/人因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班，请用数学关系式表示上述的限制条件(设开设初中班x个，高中班y个)．解：根据题意，限制条件为20≤x＋y≤30，26x＋54y＋2×2x＋3×2y≤1200，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*，即20≤x＋y≤30，x＋2y≤40，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.[典例](1)已知b2a,3dc，则下列不等式一定成立的是()A．2a－cb－3dB．2ac3bdC．2a＋cb＋3dD．2a＋3db＋c(2)下列说法不正确的是()A．若a∈R，则(a2＋2a－1)3(a－2)3B．若a∈R，则(a－1)4(a－2)4C．若0ab，则13a13bD．若0ab，则a3b3考点二不等式的性质[解析](1)由于b2a,3dc，则由不等式的性质得b＋3d2a＋c，故选C．(2)对于A，因为(a2＋2a－1)－(a－2)＝a2＋a＋1＝a＋122＋340，所以a2＋2a－1a－2，则(a2＋2a－1)3(a－2)3，故A选项说法正确；对于B，当a＝1时，(a－1)4＝0，(a－2)4＝1，所以(a－1)4(a－2)4不成立；对于C和D，因为0ab，所以由指数函数与幂函数的性质知C、D选项说法正确，故选B．[答案](1)C(2)B1．利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[类题通法]解析：选C因为abc，且a＋b＋c＝0，所以a0，c0，所以abac．1．已知abc，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．abbcB．acbcC．abacD．a|b||b|c[针对训练]2．若ab0，cd0，e0，求证：ea－c2eb－d2．证明：∵cd0，∴－c－d0．又ab0，∴a－cb－d0，则(a－c)2(b－d)20，即1a－c21b－d2．又e0，∴ea－c2eb－d2．[典例](1)已知x1，比较x3－1与2x2－2x的大小；(2)已知a0，试比较a与1a的大小．[解](1)(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34．∵x1，∴x－10．又x－122＋340，考点三数式的大小比较∴(x－1)x－122＋340．∴x3－12x2－2x．(2)因为a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a，因为a0，所以当a1时，a－1a＋1a0，有a1a；当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；当0a1时，a－1a＋1a0，有a1a．综上，当a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当0a1时，a1a．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围(1)作商法比较大小的三个步骤．①作商变形；②与1比较大小；③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围．①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．[类题通法]解：a2－b2a2＋b2－a－ba＋b＝a2－b2a＋b－a－ba2＋b2a2＋b2a＋b＝a－b[a＋b2－a2＋b2]a2＋b2a＋b＝2aba－ba2＋b2a＋b．∵ab0，∴2ab0，a－b0，a2＋b20，a＋b0，得2aba－ba2＋b2a＋b0，所以a2－b2a2＋b2a－ba＋b．1．已知ab0，比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．[针对训练]解：因为mm2m＝m2m，又因为m2，所以m21，所以m2mm20＝1，所以mm2m．2．若m2，比较mm与2m的大小．考点四用不等式性质求解取值范围[典例]已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．[解]∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．[类题通法](1)利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．(2)同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．[针对训练]1．在本例条件下，求ab的取值范围．解：∵2＜b＜8，∴18＜1b＜12，而1＜a＜4，∴1×18＜a·1b＜4×12，即18＜ab＜2.故ab的取值范围是18，2.2．已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求ab的取值范围．解：∵－6＜a＜8,2＜b＜3.∴13＜1b＜12，①当0≤a＜8时，0≤ab＜4；②当－6＜a＜0时，－3＜ab＜0.由①②得：－3＜ab＜4.故ab的取值范围为(－3,4)．3．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23，所以－113≤a＋3b≤1.故a＋3b的取值范围为－113，1.