（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质

预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题等比数列项的运算性质是什么？第二课时等比数列的性质一、预习教材·问题导入等比数列的性质(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝.apaq二、归纳总结·核心必记(3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项的两项的积相等，且等于首末两项的积．(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为.(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成数列．等距离qk＋1等比1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q1时，{an}为递增数列()(3)当q＝1时，{an}为常数列()解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．(2)错误，当q1，a10时，{an}才为递增数列．(3)正确，当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．√×√三、基本技能·素养培优2．由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是()A．等差数列B．以q为公比的等比数列C．以q2为公比的等比数列D．以2q为公比的等比数列解析：选C因为an＋1an＋2anan＋1＝an＋2an＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列．3．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为()A．35B．63C．213D．±213解析：选B∵{an}成等比数列．∴a4，a6，a8成等比数列∴a26＝a4·a8，即a8＝2127＝63.4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.解析：∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.答案：7[典例](1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为()A．10nB．n10C．100nD．n100(2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．考点一等比数列的性质[解析](1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)n2＝(100)n2＝10n.(2)因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝a8q＝256.[答案](1)A(2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[类题通法]1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7解析：选D因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，联立a4＋a7＝2，a4a7＝－8，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，所以q3＝－12或q3＝－2，故a1＋a10＝a4q3＋a7·q3＝－7.[针对训练]2．已知等比数列{an}的公比为正数，且4a2a8＝a24，a2＝1，则a6＝()A.18B.116C.132D.164解析：选B由4a2a8＝a24，得4a25＝a24，∴q＝12，∴a6＝a2q4＝116.[典例](1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析](1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即2aq－1＝a－1＋aq2－4，2aq2－4＝aq－1＋aq3－13，整理得aq－12＝3，aqq－12＝6，解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.[答案]45考点二灵活设元求解等比数列问题(2)解：法一：设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216，所以a3＝216.所以a＝6.因此前三个数为6q，6,6q.由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…aq2，aq，a，aq，aq2…(2)四个符号相同的数成等比数列设为：aq3，aq，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…aq5，aq3，aq，aq，aq3，aq5…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.[类题通法]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A．－4或352B．4或352C．4D．1712解析：选B设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为a22.由a，a22，20成等差数列得2×a22＝a＋20.∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋a22＝4.当a＝5时，插入的两个数的和为a＋a22＝352.[针对训练]考点三等比数列的实际应用问题[典例]某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[解](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[类题通法]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，求第n年初M的价值an.解：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，a6，a7，…，an是首项为a6＝70，公比为34的等比数列，故an＝70×34n－6.综上可得an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.[针对训练]