（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和课件 新人教A版

预习课本P42～45，思考并完成以下问题(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？2.3等差数列的前n项和一、预习教材·问题导入1．数列的前n项和对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝.a1＋a2＋…＋an2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式na1＋an2na1＋nn－12dSn＝Sn＝二、归纳总结·核心必记1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和()(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式()(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1()√×解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.×三、基本技能·素养培优解析：选D因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋nn－12×1＝2n＋n2－n2＝n2＋n2＝nn＋12，故选D.2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于()A．nB．n(n＋1)C．n(n－1)D．nn＋123．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A．16B．24C．36D．48解析：选D设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋4×32d＝20，即4×12＋4×32d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{an}中，S4＝2，S8＝6，则S12＝________.解析：由等差数列的性质，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，S12＝3(S8－S4)＝12.答案：12考点一等差数列的前n项和的有关计算[典例]在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.[解](1)法一：由已知条件得a5＋a10＝2a1＋13d＝58，a4＋a9＝2a1＋11d＝50，解得a1＝3，d＝4.∴S10＝10a1＋10×10－12×d＝10×3＋10×92×4＝210.法二：由已知条件得a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58，a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，∴a1＋a10＝42，∴S10＝10a1＋a102＝5×42＝210.法三：由(a5＋a10)－(a4＋a9)＝2d＝58－50，得d＝4.由a4＋a9＝50，得2a1＋11d＝50，∴a1＝3.故S10＝10×3＋10×92×4＝210.(2)S7＝7a1＋a72＝7a4＝42，∴a4＝6.∴Sn＝na1＋an2＝na4＋an－32＝n6＋452＝510.∴n＝20.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝na1＋an2结合使用．[类题通法]解析：选D∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9a2＋a82＝9×142＝63.1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于()A．13B．35C．49D．63[针对训练]2．在等差数列{an}中，若a3＝16，S20＝20，求S10.解：设等差数列{an}的公差为d.∵a3＝16，S20＝20，∴a1＋2d＝16,20a1＋20×192d＝20，联立，解得a1＝20，d＝－2.∴S10＝10×20－10×10－1×22＝110.[典例]已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？[解](1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.考点二已知Sn求an问题又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝1，n＝1，－4n＋3，n≥2.(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．(2)在书写{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2表示．[类题通法]1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则()A．an＝2n＋1B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1D．an＝2n－1解析：选B当n＝1时，a1＝S1＝－1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋(n－1)2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综上可知an＝－2n＋1.[针对训练]2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.(1)Sn＝2n2＋3n＋2；(2)Sn＝3n－1.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，所以an＝7，n＝1，4n＋1，n≥2.(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*).[典例](1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为()A．130B．170C．210D．260(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝________.考点三等差数列的前n项和性质[解析](1)利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝S2n＋12n＋1，即132－120＝132＋1202n＋1，解得n＝10.(3)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.[答案](1)C(2)10(3)53等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列Snn为等差数列．(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.[类题通法]1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝()A．18B．17C．16D．15解析：选A设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.[针对训练]2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为________．解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝n3＋2n＋12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例]在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．[解]由S17＝S9，得25×17＋17×17－12d＝25×9＋9×9－12d，解得d＝－2，[法一公式法]Sn＝25n＋nn－12×(－2)＝－(n－13)2＋169.由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.考点四等差数列的前n项和最值问题[法二邻项变号法]∵a1＝25＞0，由an＝25－2n－1≥0，an＋1＝25－2n≤0，得n≤1312，n≥1212，即1212≤n≤1312.又n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略(1)将Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足an≥0，an＋1≤0的项数n使Sn取最大值．当a10，d0时，满足an≤0，an＋1≥0的项数n使Sn取最小值．[类题通法]已知{an}为等差数列，若a11a10－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝()A．11B．17C．19D．21解析：选C∵Sn有最大值，∴d0，则a10a11，又a11a10－1，∴a110a10，a10＋a110，S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)0，S19＝19a100，∴S19为最小正值．故选C.[针对训练]