（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念

预习课本P36～38，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？第一课时等差数列的概念及通项公式2.2等差数列一、预习教材·问题导入1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母___表示．同一个d公差[规律总结](1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．二、归纳总结·核心必记2．等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么___叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是_________.3．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.AA＝a＋b2递推公式通项公式_________＝d(n≥2)an＝___________(n∈N*)an－an－1a1＋(n－1)d[规律总结]由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列()三、基本技能·素养培优解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d0时为递增数列；d＝0时为常数列；d0时为递减数列．(3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，an＝298，则n的值等于()A．98B．100C．99D．101解析：选Ban＝a1＋(n－1)d＝3n－2，令an＝298，即3n－2＝298⇒n＝100.3．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列解析：选Aan＝2n＋5＝2(n－1)＋7，∴首项a1＝7，公差d＝2，故选A.4．已知等差数列{an}，a1＝7，a7＝1，则公差d＝________.解析：a1＝7，a7＝1，由an＝a1＋(n－1)d得1＝7＋6d，∴d＝－1.答案：－1[典例]在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[解](1)∵a5＝－1，a8＝2，∴a1＋4d＝－1，a1＋7d＝2，解得a1＝－5，d＝1.考点一等差数列的通项公式及应用(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，a1＋a1＋5d＝12，a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[类题通法]1．2020是等差数列4,6,8，…的()A．第1006项B．第1007项C．第1008项D．第1009项解析：选D∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2020＝2n＋2，∴n＝1009.[针对训练]2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由已知a1＋15－1d＝33，a1＋61－1d＝217，解得a1＝－23，d＝4.所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项.[典例]已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．[解]在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.∴a2＋a4＝12，a2·a4＝11，解得a2＝11，a4＝1或a2＝1，a4＝11.考点二等差中项的应用当a2＝11，a4＝1时，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当a2＝1，a4＝11时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．[类题通法]1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，所以8＋2＝2a，a＋b＝2×2，2＋c＝2b.解得a＝5，b＝－1，c＝－4.答案：5－1－4[针对训练]2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列1an＋1为等差数列，则a5＝________.解析：由数列1an＋1为等差数列，则有1a3＋1＋1a7＋1＝2a5＋1，可解得a5＝75.答案：75考点三等差数列的判定与证明[典例]已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1＋anan＋12(n∈N*)．(1)求证：1an－1是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：因为对于n∈N*，an＋1＝1＋anan＋12，所以an＋1＝12－an，所以1an＋1－1－1an－1＝112－an－1－1an－1＝2－an－1an－1＝－1.所以数列1an－1是首项为1a1－1＝－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1an－1＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1)，所以an－1＝－1n＋1，即an＝nn＋1.等差数列判定的常用的2种方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．[类题通法]已知1a，1b，1c成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．解：∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，∴2b＝a＋cac，即2ac＝b(a＋c)．(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．[针对训练]