（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第二课时 等差数列的性质

预习课本P39练习第4、5题，思考并完成以下问题(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？(2)等差数列的运算性质是什么？第二课时等差数列的性质一、预习教材·问题导入1．等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广an＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系)an＝am＋________(揭示任意两项之间的关系)(n－m)d2．等差数列的性质若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝_______.ap＋aq二、归纳总结·核心必记(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为的等差数列．2akdcd2dpd1＋qd21．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列()(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()三、基本技能·素养培优解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33D．29解析：选B∵数列{an}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90B．270C．180D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例](1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30B．15C．56D．106(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝()A．0B．37C．100D．－37考点一等差数列的性质应用[解析](1)∵数列{an}为等差数列，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝52(a2＋a4)＝52×6＝15.(2)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.[答案](1)B(2)C本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.本例(2)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列．灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．[类题通法]1．已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为()A．－12B．－32C．12D．32解析：选Aa1＋a5＋a9＝3a5＝π，所以a5＝π3，而a2＋a8＝2a5＝2π3，所以cos(a2＋a8)＝cos2π3＝－12，故选A.[针对训练]2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝()A．10B．18C．20D．28解析：选C由等差数列的性质得：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋(2a6)＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20，故选C.[典例](1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解](1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝9，a－da＝6a＋d，解得a＝3，d＝－1.∴这三个数为4,3,2.考点二灵活设元求解等差数列(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得1－32d1＋32d＝－8，即1－94d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.[类题通法]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．由题设知a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，解得a＝132，d＝32或a＝132，d＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[针对训练][典例]某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，∴每年的利润构成一个等差数列{an}，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an0，则该公司经销这一产品将亏损．∴由an＝220－20n0，得n11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．考点三等差数列的实际应用解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．[类题通法]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2[针对训练]