（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时

预习课本P30～31，思考并完成以下问题(1)什么叫数列的递推公式？(2)由数列的递推公式能否求出数列的项？第二课时数列的通项公式与递推公式一、预习教材·问题导入数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第___项(或某一项)开始的任一项___与它的前一项_____(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．2anan－1二、归纳总结·核心必记[提醒](1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()三、基本技能·素养培优解析：(1)正确．只需将项数n代入即可求得任意项．(2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的．(3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法．(4)错误．不是所有的数列都有递推公式．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．符合递推关系式an＝2an－1的数列是()A．1,2,3,4，…B．1，2，2,22，…C．2，2，2，2，…D．0，2，2,22，…解析：选BB中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式an＝2an－1.3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝()A．－3B．－11C．－5D．19解析：选D由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.4．已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n≥2)，则a16＝________.解析：a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，∴此数列为3的周期数列，∴a1＝a16＝12.答案：12[典例]数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a2n＋1－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．[解]由a2n＋1－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝a2n＋1－－1nan，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝a22－－11a1＝32＋11＝10，a4＝a23－－12a2＝102－13＝33，a5＝a24－－13a3＝332＋110＝109.∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109.考点一由递推公式求数列的项由递推公式求数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．[类题通法]已知数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12，2an－1，12≤an1，若a1＝67，则a2019＝________.解析：计算得a2＝2a1－1＝57，a3＝2a2－1＝37，a4＝2a3＝67.故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2019＝673×3，所以a2019＝a3＝37.答案：37[针对训练]考点二由递推公式求通项公式[典列](1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋1nn＋1，n∈N*，求数列的通项公式an.(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求数列的通项公式an.[解](1)(累加法)∵an＋1－an＝1nn＋1，∴a2－a1＝11×2；a3－a2＝12×3；a4－a3＝13×4；…an－an－1＝1n－1n；以上各式累加得，an－a1＝11×2＋12×3＋…＋1n－1n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.∴an＋1＝1－1n，∴an＝－1n(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－1n.(2)(累乘法)∵a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，∴anan－1＝n－1n，an＝anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a3a2×a2a1×a1＝n－1n×n－2n－1×n－3n－2×…×23×12×1＝1n.又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当anan－1＝g(n)时，常用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1求通项公式．[类题通法][针对训练]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)，试探究数列{an}的通项公式．解：法一：将n＝1,2,3,4依次代入递推公式得a2＝23，a3＝24，a4＝25.又a1＝22，∴可猜想an＝2n＋1.则有an＋1＝2n＋2，将其代入递推关系式验证成立．∴an＝2n＋1(n∈N*)．法二：∵an＋1＝2anan＋2，∴an＋1an＝2an－2an＋1.两边同除以2an＋1an，得1an＋1－1an＝12.∴1a2－1a1＝12，1a3－1a2＝12，…，1an－1an－1＝12.把以上各式累加得1an－1a1＝n－12.又a1＝1，∴an＝2n＋1.故数列{an}的通项公式为an＝2n＋1(n∈N*)．[典例]已知数列{an}的通项公式是an＝n＋1·1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．[解]法一：an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝9－n1011n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an.则a1a2a3…a9＝a10a11a12…，故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×10119.考点三数列的最大、最小项问题法二：根据题意，令an－1≤an，an≥an＋1，(n1)即n×1011n－1≤n＋11011n，n＋11011n≥n＋21011n＋1，(n1)解得9≤n≤10.又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×10119.(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．(2)可以利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1，(n1)找到数列的最大项；利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1，(n1)找到数列的最小项．[类题通法][针对训练]已知数列{an}中，an＝1＋12n－9(n∈N*)，求数列{an}中的最大项和最小项的值．解：∵an＝1＋12n－9，结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1a1a2a3a4；a5a6a7…an1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.